есть ли метод?

[ИвановЭГ]

Есть ли метод по которому можно узнать, что рассматриваемое выражение-есть квадрат другого выражения!!! например: $(x^4-4x^3+10x^2-12x+9)=(x^2-2x+3)^2$ или $x^6-2x^4+8x^3+x^2-8x+16=(x^3-x+4)^2$
$x^6+3x^2-6x^4+9/x^2+18=(x^3-3/x-3x)^2$

[ИСН]

Выражение - это что? Если многочлен, то можно взять его производную и найти НОД её и самого многочлена. Кое-что прояснится.

[TOTAL]

Для $x^6-2x^4+8x^3+x^2-8x+16$ методом неопределенных коэф-тов квадр. корень находится.

[ИвановЭГ]

ИСН писал(а):

Выражение - это что? Если многочлен, то можно взять его производную и найти НОД её и самого многочлена. Кое-что прояснится.

Выражение - это что?-----------а вы не видете на примере!!!
а на счет прояснения -можно по подробней!!

[Sensile]

Есть теорема:
Если $f(x)$ - многочлен над полем нулевой характеристики и $p(x)$ - его неприводимый множитель кратности $m\geqslant 1$, то $p(x)$ является множителем кратности $m-1$ производной $f'$

Добавлено спустя 2 минуты 53 секунды:

И как следствие: многочлен имеет неприводимые кратные множители тогда и только тогда, когда наибольший общий делитель многочленов $f$ и $f'$ имеет положительную степень.

[Профессор Снэйп]

ИСН писал(а):

Если многочлен, то можно взять его производную и найти НОД её и самого многочлена. Кое-что прояснится.

Насчёт того, что кое-что прояснится согласен на все 100. Но, к сожалению, может проясниться не до конца.

Я вижу пока только такой численный алгоритм. Находим все (комплексные) корни многочлена и, беря нужное количество производных, вычисляем их кратность. Если все кратности чётны, то ответ на вопрос задачи положителен, в противном случае отрицателен.

Корни придётся искать численными методами. Ну и все вычисления (а также и конечный результат) в общем случае проходят лишь с некоторой точностью... Да и метод довольно трудоёмкий. Может есть что и получше...

[bot]

Профессор Снэйп писал(а):

Корни придётся искать численными методами. Ну и все вычисления (а также и конечный результат) в общем случае проходят лишь с некоторой точностью...

Если пользоваться численными методами, то появление кратных корней проблематично. Согласно заявлению одного известного академика в природе не бывает кратных корней.

[ИСН]

Профессор Снэйп, Вы усложняете. Мне кажется, мы вполне можем обойтись простой арифметикой (взятия производной и НОД) и не искать никаких корней.

[ИвановЭГ]

ИСН писал(а):

Профессор Снэйп, Вы усложняете. Мне кажется, мы вполне можем обойтись простой арифметикой (взятия производной и НОД) и не искать никаких корней.

не хотели бы проилюстрировать на последнем примере!!!

[ИСН]

Можно, я его сначала умножу на $x^2$ и превращу в многочлен? Всё, что я говорил, касается только многочленов.

[TOTAL]

ИвановЭГ писал(а):

ИСН писал(а):

Профессор Снэйп, Вы усложняете. Мне кажется, мы вполне можем обойтись простой арифметикой (взятия производной и НОД) и не искать никаких корней.

не хотели бы проилюстрировать на последнем примере!!!

Что иллюстрировать? НОД обязан делиться на квадратный корень. Поэтому если степень НОДа маленькая, квадратного корня нет. А если большая, каковы дальнейшие планы?

[ИвановЭГ]

ИСН писал(а):

Можно, я его сначала умножу на $x^2$ и превращу в многочлен? Всё, что я говорил, касается только многочленов.

для неких выкладок можно умножить и разделить,это приемлемо!

[ИСН]

Короче, если степень НОДа правильная, то проверяем, не это ли и есть корень. И всё.
Если слишком большая - значит, сработали корни кратности выше 2, и надо возиться с производными и НОДами дальше, чтобы дознаться до правды.
Сейчас...
$P(x) = x^8 + 3x^4 - 6x^6 + 9 + 18x^2$
$P^\prime(x) = 36x + 12x^3 - 36x^5 + 8x^7$
$GCD(P(x),P^\prime(x)) = x^4 - 3x^2 - 3$
вот и всё.

[TOTAL]

ИСН писал(а):

Сейчас...

Брюки превращаются ... Превращаются брюки ...

[Александр Т.]

ИвановЭГ писал(а):

Есть ли метод по которому можно узнать, что рассматриваемое выражение-есть квадрат другого выражения!!! например: $(x^4-4x^3+10x^2-12x+9)=(x^2-2x+3)^2$ или $x^6-2x^4+8x^3+x^2-8x+16=(x^3-x+4)^2$
$x^6+3x^2-6x^4+9/x^2+18=(x^3-3/x-3x)^2$

Есть метод извлечения квадратного корня "столбиком" из числа в десятичном представлении (который можно применять и при другом представлении). Этот способ можно обобщить на многочлены от одной переменной подобно тому, как обобщается на многочлены метод деления чисел столбиком. Если многочлен представим в виде квадрата, то на некотором этапе применения этого обобщенного на многочлены метода извлечения корня остаток получается равным нулю (аналогично обнулению остатка при извлечении "столбиком" корня из целого числа, представимого в виде квадрата целого числа).

Этот метод, кстати, можно обобщить не только на обычные многочлены (т.е. с целыми неотрицательными степенями), но и на многочлены, в которых присутствуют члены с целыми отрицательными степенями.

Вот попытался изобразить процедуру средствами LaTeX, используя то обстоятельство, что здесь пакет amsmath по умолчанию подгружен.

\begin{equation*} \begin{aligned} \sqrt{} &x^6&-6&x^4&+3&x^2&+18&&+9&/x^2& \\ &x^6& &&&&&&&&\lefteqn{\lvert x^3-3x-3/x} \\ &\lefteqn{\rule{2.1in}{0.4pt}} \\ &&-6&x^4&+3&x^2&\lefteqn{\lvert(2x^3-3x)}\\ &&-6&x^4&+9&x^2&\lefteqn{\lvert(-3x)} \\ &&&\lefteqn{\rule{1.6in}{0.4pt}} \\ &&&&-6&x^2&+18&&+9&/x^2&\lefteqn{\lvert(2x^3-6x-3/x)}\\ &&&&-6&x^2&+18&&+9&/x^2&\lefteqn{\lvert(-3/x)} \\ &&&&&\lefteqn{\rule{1.2in}{0.4pt}} \\ &&&&&&&&0 \end{aligned} \end{equation*}