Сумма двух квадратов и гауссовы целые

[Padawan]

http://ium.mccme.ru/postscript/f16/algebra1-listok02.pdf
Задача 2.6. б) Если $n=x^2+y^2$ делится на простое $p\neq 2$, то либо $x$ и $y$ делятся на $p$, либо $p$ тоже представимо в виде суммы двух квадратов.

Решение. Пусть $p$ не представимо в виде суммы двух квадратов. Тогда $p\in \mathbb Z[i]$ неприводим. Действительно, если $p=(a+bi)(c+di)$, то $N(p)=N(a+bi)N(c+di)\Rightarrow p^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)$. Так как ни один из множителей справа не равен $p$, то один из них равен $1$, а другой $p^2$. Пусть $a^2+b^2=1$. Тогда $a+bi$ обратим в $\mathbb Z[i]$. Значит, элемент $p$ неприводим. Если $x+iy$ делится на $p$, то $x+iy=p(u+iv)$ для подходящего $u+iv\in\mathbb Z[i]\Rightarrow x=pu, y=pv$, т.е. $x$ и $y$ делятся на $p$. Если же $x+iy$ не делится на $p$ то, так как элемент $p$ неприводим, а кольцо $Z[i]$ - кольцо главных идеалов, то ${\text {НОД} }(x+iy,p)=1$ и $\alpha(x+iy)+\beta p=1$ для подходящих $\alpha,\beta\in \mathbb Z[i]$. Домножая на $x-iy$ получим, $\alpha(x^2+y^2)+\beta p (x-iy)=x-iy$. Так как по условию $x^2+y^2$ делится на $p$, то вся левая часть делится на $p$ $\Rightarrow x-iy=p(u+iv)\Rightarrow x=pu, y=-pv$, т.е. $x$ и $y$ делятся на $p$.

Прошу проверить решение. Требуемое в задаче условие $p\neq 2 $ лишнее?

[iifat]

Padawan в сообщении #1215476 писал(а):

условие $p\neq 2 $ лишнее?

Поскольку $2=1^2+1^2$, явно лишнее.

[Padawan]

После того, как доказали, что $p$ неприводим, можно проще: $x^2+y^2=pk$, $(x+iy)(x-iy)=pk$. Так как $p\mid (x+iy)(x-iy)$, то $p\mid (x+iy)$ или $p\mid (x-iy)$. В обоих случаях $x,y$ делятся на $p$.