Помогите найти комплексный корень

[rar]

Нужно найти третий корень (комплексный):
$\frac{1}{x(x+1)(x^2+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C_x+D}{x^2+1}$
$1=A(x+1)(x^2+1)+B(x^2+1)x+(C_x+D)(x+1)x$
$A=1$
$B=-\frac{1}{2}$

[ipanema]

А в чём трудности? Во втором выражении, которое вы записали, откройте скобки справа, перегруппируйте в скобки относительно степеней x:
$x^3(\text{выр1}) + x^2 (\text{выр2}) + x (\text{выр3}) + (\text{выр4}) = 1$
А теперь замечаем, что для выполнения равенства достаточно чтобы выр1 = 0, выр2 = 0, выр3 = 0, выр4 = 1. Решаем полученную систему уравнений, получаем A, B, C, D.

[Профессор Снэйп]

rar писал(а):

Нужно найти третий корень (комплексный):
$\frac{1}{x(x+1)(x^2+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C_x+D}{x^2+1}$
$1=A(x+1)(x^2+1)+B(x^2+1)x+(C_x+D)(x+1)x$
$A=1$
$B=-\frac{1}{2}$

Как-то странно написано. Что такое $C_x$? Это $Cx$, то есть произведение $C$ и $x$, или что-то другое?

И о каком "комплексном корне" речь, я вообще не понял. Мне кажется, что нужно просто найти значения констант $A$, $B$, $C$ и $D$, а они все действительны.

[powerZ]

rar писал(а):

Помогите найти комплексный корень

Только не корни наверное, а коэффициенты разложения? Кстати C и D получаются вполне себе вещественные.

[ewert]

rar писал(а):

Нужно найти третий корень (комплексный):
$\frac{1}{x(x+1)(x^2+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C_x+D}{x^2+1}$
$1=A(x+1)(x^2+1)+B(x^2+1)x+(C_x+D)(x+1)x$
$A=1$
$B=-\frac{1}{2}$

Насчёт "комплексного корня" -- это, наверное, какой-то жаргон, однако идея тем не менее неплохая. Попробуйте поискать разложение в виде (комплексные слагаемые потом свернёте):

$$\frac{1}{x(x+1)(x^2+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x+i}+\frac{D}{x-i}.$$

Тогда каждый коэффициент -- это вычет в соответствующей точке. И находится практически в уме: надо просто домножить равенство на соответствующий знаменатель, слева сократить и подставить корень этого знаменателя. Кстати, $C$ искать не нужно -- он комплексно сопряжён к $D$ (его немного проще считать).

[rar]

Проверьте, правильно я нашел корни?
$A=1$
$B=C=D=-\frac{1}{2}$

[ИвановЭГ]

rar писал(а):

Проверьте, правильно я нашел корни?
$A=1$
$B=C=D=-\frac{1}{2}$

что за тема у тебя такая??!!!комплексный корень!!!может лучше попросишь разложить на простые дроби!!!
правильно нашел!!!!и вообще, это не корни, а коэффициенты!

[rar]

Ну да, коэффициенты.

Только вот когда и поставляешь, то результат не сходится.

[Коровьев]

ewert писал(а):

rar писал(а):

Нужно найти третий корень (комплексный):
$\frac{1}{x(x+1)(x^2+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C_x+D}{x^2+1}$
$1=A(x+1)(x^2+1)+B(x^2+1)x+(C_x+D)(x+1)x$
$A=1$
$B=-\frac{1}{2}$

Насчёт "комплексного корня" -- это, наверное, какой-то жаргон, однако идея тем не менее неплохая. Попробуйте поискать разложение в виде (комплексные слагаемые потом свернёте):

$$\frac{1}{x(x+1)(x^2+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{x+i}+\frac{D}{x-i}.$$

Тогда каждый коэффициент -- это вычет в соответствующей точке. И находится практически в уме: надо просто домножить равенство на соответствующий знаменатель, слева сократить и подставить корень этого знаменателя. Кстати, $C$ искать не нужно -- он комплексно сопряжён к $D$ (его немного проще считать).

Мамой клянусь, не знал такой идеи с вычетами. Блеск!
Всегда тупо действовал по стандарту- освобождался от знаменателя и т.д.

[ИвановЭГ]

rar писал(а):

$\frac{1}{x(x+1)(x^2+1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{C_x+D}{x^2+1}$

сюда надо!

[rar]

Все проверил, все сходится. Спасибо!

[ИвановЭГ]

rar писал(а):

Все проверил, все сходится. Спасибо!

такие вещи слегкостью можно проверит в Maple пишем convert(f(x),parfrac); и все!!

[bot]

Коровьев писал(а):

Мамой клянусь, не знал такой идеи с вычетами.

Стандартная вещь для случая, когда знаменатель не имеет кратных корней. В случае если они есть, то этим же способом можно найти коэффициенты простейших дробей наивысшей степени. Остальные - методом научного тыка. К примеру, пусть нам найти коэффициенты в разложении

$$\frac{1}{x^3(x-2)(x+3)}=\frac{A}{x^3} + \frac{B}{x^2} + \frac{C}{x} + \frac{D}{x-2} + \frac{E}{x+3}$$

Коэффициенты $A, D, E$ определяем устно, а для оставшихся $B$ и $C$ тыкаем в какие-нибудь две точки, скажем, полагаем один раз $x=1$ и другой раз $x=-1$

[ewert]

на самом деле все коэффициенты и всегда вычетами находятся. Это действительно стандартное правило. Просто если корни простые, то находятся тривиально, ну а если кратные -- то с некоторой морокой.

[powerZ]

Коровьев писал(а):

Мамой клянусь, не знал такой идеи с вычетами. Блеск!

Я знал для простых и кратных корней, но для комплексно-сопряженных - знал только в виде ewertа. В виде rarа получается красивее. Идея ipanema с решением полной системы коэффициентов тоже очень понравилась.

Добавлено спустя 11 минут 28 секунд:

bot писал(а):

Коэффициенты $A, D, E$ определяем устно, а для оставшихся $B$ и $C$ тыкаем в какие-нибудь две точки, скажем, полагаем один раз $x=1$ и другой раз $x=-1$

Не понял. По-моему для поиска B и C надо умножать всё на $x^3$ а затем брать 1-ю (для B) и 2-ю (для C) производные и подставлять x=0.