Дифференциальные формы с коэффициентами в вектор-функциях

[kp9r4d]

Пусть $F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$ гладкая. Тогда мне очень хочется написать вещь, вроде $dF = F'(t)dt$ проблема в том, что мне непонятен объект в RHS - мы векторное поле $F'(t)$ множим на 1-форму $dt$, что для меня является очевидным type mismatch error. Но написать так очень хочется, поэтому мне интересно - в каком смысле можно так написать? Конечно, можно написать покомпонентно, как-то вроде $F(t) = (F_x(t), F_y(t))^T$ и $dF_x = F_x'(t) dt$, $dF_y = F_y'(t) dt$ но компоненты это ведь не выход никогда! Хочу всё инвариантно!

-- 09.05.2017, 08:08 --

Я как задал, так сразу кое-что нашёл: wiki:vector-valued differential form. Ощущение, что можно обобщать и дальше - до коэффициентов в произвольном $\mathcal{O}_M$-модуле, так что пусть тема остаётся, наверное, вдруг кто что умное напишет :3

[Xaositect]

А левый $dF$ у нас какого типа? Если это дифференциал отображения, т.е. гомоморфизм касательных пространств, то справа у нас просто тензорное произведение $T_{F(t)}\mathbb{R}^2 \otimes T^*_t \mathbb{R}$.

[kp9r4d]

Ну да, гомоморфизм касательных пространств, вы правы, теперь всё на свои места чуть-чуть встало.

-- 09.05.2017, 08:48 --

Хотя глобально мне всё равно не понятно, $F'(t)$ не является честным cечением $T\mathbb{R}^2$ же.

[Xaositect]

Так у нас и нет глобального объекта на $\mathbb{R}^2$, тут ничего не поделаешь. Глобальные вещи есть только на $\mathbb{R}$ и на кривой. Например, можно говорить про $T\mathbb{R}$ и пуллбэк $F^*T\mathbb{R}^2$

[kp9r4d]

Ну это понятно, что нету, но эту трудность мне как-то и хочется обойти. То есть хотелось бы очень написать что-то вроде $Hom(T\mathbb{R},T\mathbb{R}^2)$ слева и $T^* \mathbb{R} \otimes T\mathbb{R}^2$ справа, но вот никак нельзя. И что делать? :(

[Xaositect]

Ну так дифференциал лежит не в $\operatorname{Hom}(T\mathbb{R}, T\mathbb{R}^2)$ (потому что такого объекта вообще нет), а в $\operatorname{Hom}(T\mathbb{R}, F^*T\mathbb{R}^2)$.

[kp9r4d]

Гомоморфизмов векторных расслоений над разными базами нету? Да есть же. И $dF$ оно отображает именно из $T \mathbb{R}$ в $T \mathbb{R}^2$. Всегда так думал. Вот ещё: ncatlab: tangent map

-- 09.05.2017, 09:44 --

Всё таки мне гораздо больше хочется рассматривать $F$ не как отображение между пространствами, не как $F: \mathbb{R} \to \mathbb{R}^3$, а как $F: C^\infty(\mathbb{R}; \mathbb{R}^3)$ и $\mathbb{R}^3$ воспринимать как абелеву группу коэффициентов, то есть заменить во всей теории де-Рама изначально $C^\infty(M;\mathbb{R})$ на $C^\infty(M;E)$ для произвольного векторного расслоения $E$, или даже для произвольного $\mathcal{O}_M$-модуля.

[Xaositect]

kp9r4d в сообщении #1215189 писал(а):

Гомоморфизмов векторных расслоений над разными базами нету? Да есть же. И $dF$ оно отображает именно из $T \mathbb{R}$ в $T \mathbb{R}^2$. Всегда так думал. Вот ещё: ncatlab: tangent map

А, если так, то да. Но в такой категории вообще есть тензорные произведения?

[kp9r4d]

Вроде нету.

-- 09.05.2017, 10:17 --

На самом деле история такая, я увидел в интернете такую картинку (тег img её парсить не захотел, почему-то), ну я, конечно же, написал $dF = m \frac{d^2 v}{dt^2} dt$, проблем с формальным манипулированием значками у меня никаких нету, а потом я подумал: а что я только что сделал? И ответить толком не смог. Но, видимо, силу нужно воспринимать как векторное поле в $\mathbb{R} \times M$ где $M$ это некоторое "мировое" риманово многообразие а $\mathbb{R}$ это время. Тогда всё более-менее стаёт на свои места, потому что запись $dF$ перестаёт быть корректной, а корректна только запись $\nabla_{\frac{\partial}{\partial t}} F$. Соответственно, если мы хотим проследить ситуацию в $\mathbb{R}^3$ то нужно взять $M=\mathbb{R}^3$.
Так что этот дедушка сам зомби, ящетаю :3

[Munin]

Обычно такие дедушки - тихие фрики.

[CptPwnage]

Про такие вещи обычно в любом учебнике по комплексной геометрии есть в подробностях - $k$ - формы со значениями в векторном расслоении $E$ на многообразии $M$ это просто сечения $ E \otimes \Omega^k(M)$, ключевой объект в теории Ходжа и проч. Или если хочется в связи с физикой то будут формы со значениями в алгебре Ли калибровочной группы данной теории (но это сводится к векторным расслоениям). Вот тут в главе 5 https://www-fourier.ujf-grenoble.fr/~de ... agbook.pdf наверняка есть что-то полезное (и вообще написано хорошо).

UPD.
Локально свободный пучок модулей над $O(M)$ это более менее всегда и есть пучок сечений векторного расслоения.

[kp9r4d]

Да разобрались уже, по ссылке в википедии более-менее то же самое написано. Энивей спасибо, за учебник особенно (правда с тем интернетом, что у меня сейчас посмотреть я его смогу только позже).

[vpb]

Коллеги, мне кажется, что вы стали себе морочить головы на пустом месте, с самого начала! Это не тот случай, когда для достижения лучшего понимания надо наворачивать сложные концепции одна на другую.