1D изинговая модель со степенным взаимодействием

[Gickle]

Доброго времени суток. Что-то запутался немного.

Вот хорошо известен пример, что в 1D изинговой цепи с взаимодействием соседнего типа ($J$) фазовый переход при конечных температурах невозможен. И объяснение там такое, мол, рассмотрим, основное состояние - $|\uparrow \uparrow ... \uparrow \rangle$ и "первое возбужденное" - $|\uparrow \uparrow ... \uparrow \downarrow ... \downarrow \rangle $. разность свободной энергии:

$\Delta F = \Delta E - T \Delta S = 2 J - \ln(N)$

Чтобы это возбуждённое состояние было устойчиво, должно выполняться $\Delta F < 0$, откуда получаем критическую температуру $T_c = \dislaystyle \frac{2J}{\ln(N)}$, которая в термодинамическом пределе стремится к нулю.

Теперь предлагается рассмотреть взаимодействие типа
$J_{ij} = \begin{cases} \diplaystyle\frac{J}{|i - j|^{\sigma}},&\text{если $i \ne j$;}\\ 0,&\text{если $i = j$;} \end{cases} $

Спрашивается, при каких значениях $\sigma$ этот аргумент теряет силу. Ну, идём по той же логике. Энтропийный член не изменится, а вот энергия теперь изменяется на величину:
$\Delta E \sim \displaystyle\sum_{n = 1}^N \frac{1}{n^{\sigma}}$

(тут, по сути, ещё суммирование надо вроде, но для оценки по порядку этого достаточно вроде)

Ну и вот эту штуку опять надо сравнить с энтропийным членом. Моя проблема в том, что я не могу понять, как тут получаются именно значения параметра $\sigma$. То есть, скажем, при $\sigma = 1$ получим гармонический ряд, который даст $\sim \ln(N)$. Тогда как раз:

$c \ln(N) - T \ln(N) < 0$,

где $c$ - некоторая константа.

И получим конечную критическую температуру. Но если взять другие значения, то в термодинамическом пределе получим либо $T_c = 0$, как раньше, либо $T_c = \inf$

Помогите разобраться, где не прав.

[Gickle]

Немного разобрался. Энергетический член, конечно, оценил плохо. Реально надо бы так:
$\Delta E = \displaystyle\sum_{l=1}^{N} l J(l) \sim \int_0^N dl\, l J(l)$

Далее рассуждения похожие. Как я понимаю, нужно ещё бы потребовать, чтобы свободная энергия на "единицу объема" не расходилась. По итогу получу, что чтобы энергетический член рос не медленнее, чем логарифм, но при этом свободная энергия на единицу объёма не расходилась, необходимо: $1< \sigma \le 2$.

Теперь вот не до конца понятно, насколько всё корректно в случае $\sigma = 2$ и, что важнее, не получится ли всё же, что при $\sigma < 2$ энергетический член растёт реально быстрее (как некоторая степень неотрицательная), из-за чего в T-пределе $T_c \rightarrow \inf$.

P.S. Извиняюсь, что пришлось ещё одно сообщение создать, но отредактировать уже не мог, а мыслью относительно решения поделиться счёл нужным всё-таки.