Парабола по двум точкам и максимуму

[Aael]

Помогите найти гладкое приближение траектории полета точки из $A(x_1,y_1) в $C(x_3,y_3) с заданным максимумом $y_2$ на интервале от $x_1$ до $x_3$.
В итоге должна получится параметрическая кривая $r=r(t), r(0)=A, r(1)=C$, похожая на параболу, но не обязательно парабола, может есть какая-то удобная кривая?

Пробую сейчас вычислить коэффициенты параболы по двум точкам и $y_{\max}$, оставлю её если не подвернется более изящного решения.

[iifat]

С какого именно места, собственно, проблем-то? Так, навскидку, всегда должна б найтись нужная парабола. Мож, конечно, ограничения вылезут, если встретится сильно непохожий рисунок.

[Anton_Peplov]

Aael в сообщении #1213634 писал(а):

гладкое приближение траектории полета точки

Aael в сообщении #1213634 писал(а):

похожая на параболу, но не обязательно парабола, может есть какая-то удобная кривая?

А что за полет? При определении траектории физика учитывается или по барабану?
Если учитывается, то форма траектории задана физическими законами. В частности, если на точку действует только притяжение Земли и Землю в данной задаче можно считать плоской, то куда ж Вы от родной параболы денетесь.

[Aael]

Anton_Peplov, нет, не учитывается, нужно сделать визуальный подъем и падение в рамках примерно 50*50 пикселей за заданное время (< 1 сек), ускорение тоже не важно, подойдет любая кривая выпуклая вверх.

iifat, да, найдется, но формулы жуткие, если искать параболу по трем точкам, то можно еще выписать многочлен Лагранжа, но если решать мою систему (с y_max) получится нечитаемо (ну и она не линейная, чтобы записать матрицей и решить на лету по Крамеру). Какого-то вектороного/матричного решения я не знаю. Плюс еще нужно нужно параметризовать, это конечно же можно отдельно вынести.

Думал еще приблизить двумя сплайнами, но нет желания разбивать кривую на два куска. Попробую поискать способ построения цельного сплайна по трем точкам (как в редакторах для средней точки обе касательные лежат на одной прямой).

[Pphantom]

Aael в сообщении #1213648 писал(а):

да, найдется, но формулы жуткие, если искать параболу по трем точкам, то можно еще выписать многочлен Лагранжа, но если решать мою систему (с y_max) получится нечитаемо (ну и она не линейная, чтобы записать матрицей и решить на лету по Крамеру). Какого-то вектороного/матричного решения я не знаю. Плюс еще нужно нужно параметризовать, это конечно же можно отдельно вынести.

Если записать уравнение параболы в виде $y=ax^2+bx+c$, то условия прохождения через две крайние точки - это линейные уравнения относительно коэффициентов, соответственно, из них два коэффициента легко выражаются через третий. Условие для максимума - это квадратное уравнение относительно коэффициентов, которое при подстановке полученных ранее выражений превращается в квадратное для одного коэффициента. Т.е. задача решается аналитически, причем средствами, доступными ученику 8 класса, использовать сплайны, многочлены Лагранжа и прочие матрицы тут совершенно незачем.

[arseniiv]

Aael в сообщении #1213648 писал(а):

нужно сделать визуальный подъем и падение в рамках примерно 50*50 пикселей за заданное время (< 1 сек), ускорение тоже не важно, подойдет любая кривая выпуклая вверх

Тогда, действительно, можно не учитывать сопротивление воздуха, влияние которого нельзя будет заметить, если только оно не будет таким, что сделает анимацию ненатуральной для зрителя, и приближение постоянности поля тяготения здесь тоже естественнее некуда, так что результатом будет ни что иное как парабола, и с ней всё тем более легко, как заметил Pphantom. А вот непостоянство скорости движения надо будет не забыть учесть (к счастью, компоненты скорости линейно (горизонтальная) и квадратично (вертикальная) зависят от времени, и найти их будет не труднее, чем коэффициенты параболы-траектории (которые, в принципе, не нужны для подобной анимации, amirite?).

[Pphantom]

В принципе, если требуется анимация полета, то можно просто уравнения движения решать методом Эйлера. Оно проще будет, тем более при требуемой точности (вернее, ее отсутствии).

[mihaild]

arseniiv в сообщении #1213705 писал(а):

компоненты скорости линейно (горизонтальная) и квадратично (вертикальная) зависят от времени

Может быть всё-таки координаты, а не компоненты скорости?

[arseniiv]

Это меня физический контекст сбил. Раз там говорят «компоненты тензора» вместо «координаты», я и про скорость так написал. Наверно, зря.

[ewert]

Pphantom в сообщении #1213706 писал(а):

можно просто уравнения движения решать методом Эйлера.

Модификацией второго порядка, он же двухэтапный Рунге-Кутта. Для визуализации этого вполне достаточно, собственно же Эйлер -- грубоват.

[arseniiv]

Но, о Диэдр, зачем? Всё же интегрируется. Кстати, я про скорость бред написал, это же не скорость, а положение зависит квадратично от времени. Скорость же линейно.

[ewert]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1213751 писал(а):

Всё же интегрируется.

Что интегрируется -- сопротивление воздуха?...

Нифига оно не интегрируется. Просто потому, что при малых скоростях оно примерно линейно, при больших -- примерно квадратично. И зависимость эта -- сугубо эмпирическая.

[arseniiv]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1213753 писал(а):

Что интегрируется -- сопротивление воздуха?...

А зачем здесь сопротивление воздуха? ТС ясно указал, какая нужна степень правдоподобия:

Aael в сообщении #1213648 писал(а):

нужно сделать визуальный подъем и падение в рамках примерно 50*50 пикселей за заданное время (< 1 сек), ускорение тоже не важно, подойдет любая кривая выпуклая вверх

Кому тут нужно сопротивление?

[ewert]

(Оффтоп)

arseniiv в сообщении #1213754 писал(а):

Кому тут нужно сопротивление?

Не мне:

Anton_Peplov в сообщении #1213643 писал(а):

При определении траектории физика учитывается или по барабану?

Мне-то по барабану. Но если учитывать, то.

Да, если по теме:

iifat в сообщении #1213642 писал(а):

Так, навскидку, всегда должна б найтись нужная парабола. Мож, конечно, ограничения вылезут, если встретится сильно непохожий рисунок.

Ограничения ессно вылезут. Поскольку система на коэффициенты сводится к квадратному уравнению, решений (если они будут) окажется два -- в одном вершина окажется внутри промежутка, в другом снаружи.

[arseniiv]

(Оффтоп)

ewert в сообщении #1213757 писал(а):

Но если учитывать, то.

То надо учитывать, скажется ли его влияние настолько, насколько это будет заметным. Притом «заметным» можно трактовать весьма широко, а не как отклонение больше чем на полпикселя и на половину максимума из длительности кадра и какого-то характерного времени человеческого глаза (частоту кадров нам вот только не указали, досадно!) в любую сторону.