ТеорВер. Минимальное количество деталей.

[Katmandu]

Здравствуйте. Не могу справиться с одной задачкой по теории вероятностей. Подскажите в каком направлении думать.

Условие:
Изготавливается партия деталей. Если при изготовлении что-то пойдет не так, то деталь окажется испорченной с вероятностью 0.5. Иначе, все детали исправны.
Какое минимальное количество деталей из одной партии нужно проверить, чтобы с вероятностью не менее 0.9 утверждать, что вся партия исправна.


Мои размышления по этой задаче:
Допустим у нас есть партия деталей. Пусть пошло что-то не так, так как рассматриваем худший случай.
Теперь будем брать по одной детали и проверять ее.

1) Берем первую деталь. Мы знаем, что вероятность того, что деталь хорошая равна 0.5. Проверяем деталь - она хорошая. Но мы еще не можем сделать вывода об остальных деталях партии.

2) Берем вторую деталь. Вероятность, что обе детали хорошие равна 0.25. Проверяем деталь, она оказывается хорошей. Обращаем внимание, что вероятность вытащить две хорошие детали уменьшилась, но обе детали хорошие. Ну ничего, всякое бывает, возьмем еще одну.

3) Берем третью деталь. Вероятность трех хороших: 0.125. Проверяем ее. Она хорошая. Мы видим, что вероятность достать три хороший детали мала, но мы все равно достали три хороших.

4) Так будем продолжать вытаскивать. Так будет продолжать уменьшаться вероятность достать все детали хорошими. И так будем продолжать доставать хорошие детали.

Так вот. На каком-то шаге мы можем остановиться и сказать: "с вероятностью не менее 0.9 все детали в партии хорошие".
Вообще я думаю, что на каждом шаге мы можем сказать: c вероятностью x все детали в партии хорошие.
Но я не могу четко сформулировать, как эта вероятность зависит от числа взятых деталей. Да, она увеличивается с каждой новой деталью, но по какому закону?

Еще есть подозрение что здесь можно применить интегральную теорему Лапласа.
Есть подозрение, что здесь принимает участие какое-нибудь бета-распределение. Так как видно, что значение одной вероятности обратно пропорционально значению другой вероятности.

Еще кажется, что я все усложняю и здесь все гораздо проще.

[mihaild]

Прямо в такой постановке задача нерешаема - не хватает априорной вероятности того, что "что-то сломалось" (если мы знаем, что конвейер никогда не ломается, то и проверять ничего не нужно; чем чаще он ломается, тем больше деталей нужно проверить, чтобы убедиться, что в этот раз не сломался).

Скорее всего, задачу нужно ставить как "для какого минимального $n$ вероятность того, что $n$ деталей окажутся исправными, если конвейер сломан, не превосходит $\frac{1}{10}$?"

[Mihaylo]

Не надо путать вероятность и частоту. 0,5; 0,25; 0,125 - это частоты, а не вероятности.

Когда говорите о вероятностях, нельзя рассматривать конкретные случаи, иначе тут в дело вмешивается условная вероятность... Повторяете ошибку лудоманов, которые считают, что $n$ исходов влияют на $(n+1)$-й исход.

[Katmandu]

Mihaylo в сообщении #1213036 писал(а):

Не надо путать вероятность и частоту. 0,5; 0,25; 0,125 - это частоты, а не вероятности.

Когда говорите о вероятностях, нельзя рассматривать конкретные случаи, иначе тут в дело вмешивается условная вероятность... Повторяете ошибку лудоманов, которые считают, что $n$ исходов влияют на $(n+1)$-й исход.

Как же частоты?
Предположим, что "что-то пошло не так". Вытащим три детали. Вероятность, что все три будут исправны равна 0.125. И ведь это вероятность, а не частота.
Вытащили. Смотрим, все три исправны. Так может и ни шло ничего не так изначально.

А вообще да, у меня была это мысль про лудоманию.
Но с другой стороны чем больше мы деталей проверяем и узнаем что они хорошии, тем меньше шанс того, что-то пошло не так.

[mihaild]

Mihaylo в сообщении #1213036 писал(а):

это частоты, а не вероятности

Нет, вероятности (в пространстве "конвейер сломался").

Mihaylo в сообщении #1213036 писал(а):

Повторяете ошибку лудоманов, которые считают, что $n$ исходов влияют на $(n+1)$-й исход

Если параметр распределения является случайной величиной, то исходы зависимы.

[alisa-lebovski]

По-моему, задача поставлена некорректно.

[--mS--]

Если вот эту фразу

Katmandu в сообщении #1213032 писал(а):

Если при изготовлении что-то пойдет не так, то деталь окажется испорченной с вероятностью 0.5.

следует читать так: "Если при изготовлении что-то пойдет не так, то деталь окажется испорченной, и случается это с вероятностью 0.5.", то ответ в таких условиях - "все нужно проверить". Поскольку вероятность иметь все $N$ годных деталей, если первые $k$ деталей годные, есть $0{,}5^{N-k}$, что бывает больше $0{,}9$ лишь при $k=N$.

[Mihaylo]

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1213040 писал(а):

Нет, вероятности (в пространстве "конвейер сломался").

Бедное какое-то пространство. Поэтому частота.

[--mS--]

Mihaylo в сообщении #1213093 писал(а):

Бедное какое-то пространство. Поэтому частота.[/off]

Для вероятности бедное, а для частоты - ничего?

[Mihaylo]

Дело даже не в этом. Когда рассматриваются исходы, которые уже произошли (известны), то речь идет в первую очередь о частоте. Тут не надо даже привлекать такие понятия как пространство, вероятность...

[mihaild]

Mihaylo в сообщении #1213165 писал(а):

Тут не надо даже привлекать такие понятия как пространство, вероятность...

Понятие "вероятность" использовано уже в условии. И тут всё нормально - можно рассматривать вероятность того, что первые $n$ деталей окажутся бракованными или нет, можно рассматривать вероятность того, что все детали качественные при условии того, что первые $n$ качественные и т.д.

А вот понятия "частота" в стандартных курсах тервера вообще нет. В матстате есть понятие "выборочная статистика" (например, доля исправных деталей среди первых $n$ взятых) - которая, впрочем, тоже является случайной величиной.

Не путайте ТС, пожалуйста.