Республиканская Олимпиада

[Pyphagor]

Республиканская олимпиада (Узбекистан, Ургенч-2008).
1тур.
Время - 3 часа, контингент - 1-4 курсы.

1. Дана ограниченная последовательность действительных чисел $x_{n}$.
Известно, что $\lim\limits_{n \to \infty} (x_{n} - 2x_{n+1} + x_{n+2}) = 0 $.
Доказать, что $\lim\limits_{n \to \infty} (x_{n} - x_{n+1}) = 0 $.

2. Пусть $|f(x)|<=1$ на $[0;1]$ и интегрируема по Риману на этом же отрезке.
Доказать неравенство:

$$\int\limits_{0}^{1} \sqrt{1-(f(x))^2)} dx$$

$<=$ $\sqrt{1-(\int\limits_{0}^{1} f(x) dx)^2}}$

3. Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$ $(AB$ не параллельна $CD)$.
На сторонах $BC$ и $AD$ взяты $N$ и $M$, такие что
$\frac {|BN|}{|NC|} = \frac{|AM|}{|MD|} = \frac {|AB|}{|CD|}$.
Доказать, что если $K$ - пересечение прямых $AB$ и $CD$, $KP$ - биссектриса $AKD$, то
прямая $MN$ параллельна $KP$.

4. Матрицы А и В квадратные, порядка n и матрица А -обратима.
Возможно ли равенство АВ-ВА=А?

5. Из точки гиперболы $x^2-y^2=1$ отличной от точек $(-1;0),(1;0)$, проведены две касательные к
окружности $x^2+y^2=1$.Если $A$ и $B$ - точки касания, то доказать, что
прямая $AB$ касается гиперболы.

Остальные 3 тура - письменная и устная теория, тесты.
Тесты - 50 заданий на 1,5 часа.
Самой нерешаемой задачей - оказалась задача No.1.

[Kid Kool]

Pyphagor писал(а):

Самой нерешаемой задачей - оказалась задача No.1.

Пусть $y_k = x_{k+1}-x_k$. Из условия $\sum\limits_{k=1}^n y_k$ ограничена, а $(y_{k+1}-y_k)$ $\to$ $0$. Значит, по признаку Дирихле ряд $\sum y_k^2$ ограничен, а значит, сходится, т.к. возрастает. Поэтому общий член стремится к 0, ч.т.д.

Добавлено спустя 17 минут 59 секунд:

Pyphagor писал(а):

4. Матрицы А и В квадратные, порядка n и матрица А -обратима.
Возможно ли равенство АВ-ВА=А?

Нет. Иначе $ABA^{-1} = B+E$. С другой стороны, след $ABA^{-1}$ равен следу $A^{-1}AB$ = $tr B$. полчили, что $tr B$ = $ tr (B+E)$, что неверно.

Добавлено спустя 7 минут 6 секунд:

Pyphagor писал(а):

2. Пусть $|f(x)|<=1$ на $[0;1]$ и интегрируема по Риману на этом же отрезке.
Доказать неравенство:

$$\int\limits_{0}^{1} \sqrt{1-(f(x))^2)} dx$$

$<=$ $\sqrt{1-(\int\limits_{0}^{1} f(x) dx)^2}}$

Применить неравенство $\left(\int\limits_{0}^{1} h(x)dx\right)^2$$\leq$$\int\limits_{0}^{1} h(x)^2dx$ для h(x) = f(x) и h(x) = $\sqrt{1-f(x)^2}$, а затем сложить.

[RIP]

Kid Kool писал(а):

Pyphagor писал(а):

Самой нерешаемой задачей - оказалась задача No.1.

Пусть $y_k = x_{k+1}-x_k$. Из условия $\sum\limits_{k=1}^n y_k$ ограничена, а $(y_{k+1}-y_k)$ $\to$ $0$. Значит, по признаку Дирихле ряд $\sum y_k^2$ ограничен, а значит, сходится, т.к. возрастает. Поэтому общий член стремится к 0, ч.т.д.

Про признак Дирихле немного поподробней, если не трудно. Если $x_n=\sum_{k=1}^n\frac{(-1)^k}{\sqrt k}$, то $\sum_{n=1}^\infty y_n^2=+\infty$.

P. S. Утверждение задачи легко доказывается от противного.

[arqady]

RIP писал(а):

P. S. Утверждение задачи легко доказывается от противного.

Давайте попробуем:
Предположим, что $\lim\limits_{n \to \infty} (x_{n} - x_{n+1}) $ не существует...

[TOTAL]

Kid Kool писал(а):

Пусть $y_k = x_{k+1}-x_k$. Из условия $\sum\limits_{k=1}^n y_k$ ограничена, а $(y_{k+1}-y_k)$ $\to$ $0$. Значит, по признаку Дирихле ряд $\sum y_k^2$ ограничен, а значит, сходится, т.к. возрастает. Поэтому общий член стремится к 0, ч.т.д.

Пусть $\left|y_{i+1} - y_i \right| < \delta$ для $i \ge n$, тогда $\left|y_n \right| \le \delta \frac{k}{2} +\frac{1}{k+1} \left| \sum\limits_{i=n}^{n+k}y_i \right|$, что и означает сходимость

[antbez]

Цитата:

Pyphagor писал(а):
4. Матрицы А и В квадратные, порядка n и матрица А -обратима.
Возможно ли равенство АВ-ВА=А?

Нет. Иначе . С другой стороны, след равен следу = . полчили, что = , что неверно.

Но $B=E$ возможно!

[Kid Kool]

antbez писал(а):

Но $B=E$ возможно!

нет. Иначе A=0, а значит, необратима.

[Попов А.В.]

Ребят с первой задачей все гораздо проще. То, что они просят доказать, недоказуемо
Контрпример к утверждению, которое просят доказать:
$ a_n = n $
А вообще в задаче по-моему перепутаны посылка и утверждение. Хотя так все получается правильно, но уж слишком тривиально, тем более для олимпиадной задачи.

[Brukvalub]

Попов А.В. писал(а):

Ребят с первой задачей все гораздо проще. То, что они просят доказать, недоказуемо Very Happy
Контрпример к утверждению, которое просят доказать:
$ a_n = n $

Во-первых, в условии вообще не упоминается последовательность $ a_n = n $, во-вторых, в условии говорится про ограниченную последовательность. в-третьих, TOTAL уже давно показал корректное доказательство, так что нигде ничего не перепутано.

[Попов А.В.]

Brukvalub писал(а):

Во-первых, в условии вообще не упоминается последовательность $ a_n = n $, во-вторых, в условии говорится про ограниченную последовательность. в-третьих, TOTAL уже давно показал корректное доказательство, так что нигде ничего не перепутано.

Видимо мне нужно научиться читать более внимательно..

[ewert]

Pyphagor писал(а):

2. Пусть $|f(x)|<=1$ на $[0;1]$ и интегрируема по Риману на этом же отрезке.
Доказать неравенство:

$$\int\limits_{0}^{1} \sqrt{1-(f(x))^2)} dx$$

$<=$ $\sqrt{1-(\int\limits_{0}^{1} f(x) dx)^2}}$

Надо просто два раза применить неравенство Коши-Буняковского:

$$\int\limits_{0}^{1} \sqrt{1-f^2} dx\leqslant\sqrt{1\cdot\int\limits_{0}^{1}(1- f^2)dx}=\sqrt{1-\int\limits_{0}^{1} f^2dx}\leqslant\sqrt{1-\left(\int\limits_{0}^{1} f\cdot 1\,dx\right)^2}$

[ewert]

Pyphagor писал(а):

1. Дана ограниченная последовательность действительных чисел $x_{n}$.
Известно, что $\lim\limits_{n \to \infty} (x_{n} - 2x_{n+1} + x_{n+2}) = 0 $.
Доказать, что $\lim\limits_{n \to \infty} (x_{n} - x_{n+1}) = 0 $.

Чего-то не понял, при чём тут признак Дирихле. И даже если бы понял -- никакой монотонности-то в задаче нет.

По-моему, надо всё же от противного. Предположим, $(x_{n} - x_{n+1})\not\to 0 $. Не ограничивая общности, можно считать, что сколь угодно далеко найдется пара, для которой $(x_{n} - x_{n+1})>2$. Поскольку вторые разности всё же стремятся к нулю, сколь угодно далеко найдётся сколь угодно длинная цепочка пар, для которых $(x_{n} - x_{n+1}),(x_{n+1} - x_{n+2}),\dots,(x_{n+k-1} - x_{n+k})>1$. Но тогда $(x_{n} - x_{n+k})>k$, причём $k$ сколь угодно велико, а это противоречит ограниченности $\{x_n\}$.

[Pyphagor]

ewert писал(а):

По-моему, надо всё же от противного. Предположим, $(x_{n} - x_{n+1})\not\to 0 $. Не ограничивая общности, можно считать, что сколь угодно далеко найдется пара, для которой $(x_{n} - x_{n+1})>2$. Поскольку вторые разности всё же стремятся к нулю, сколь угодно далеко найдётся сколь угодно длинная цепочка пар, для которых $(x_{n} - x_{n+1}),(x_{n+1} - x_{n+2}),\dots,(x_{n+k-1} - x_{n+k})>1$. Но тогда $(x_{n} - x_{n+k})>k$, причём $k$ сколь угодно велико, а это противоречит ограниченности $\{x_n\}$.

Ваши рассуждения неверны.

[ewert]

да они не могут быть неверны за своей тривиальностью

[Brukvalub]

Рассуждение ewertа верно и очень элегантно!