О числе классов квадратичного поля

[Руст]

Пусть h число классов поля $Q(\sqrt{-p})$, где $p$ простое число, дающее остаток $3$ при делении на $8$. Пусть $M=\sum\limits_{\frac{3p}{10}<a<\frac p3} (\frac ap)$ сумма значений квадратичного характера. Доказать, что
$h=\frac{2M}{2-(\frac 3p )-(\frac 5p )}$.
При этом, если знаменатель обращается в $0$, то и $M=0$.
Эта формула позволяет вычислить $h$ по распределению квадратичных вычетов и невычетов в интервале длиной $p/30$.

[Руст]

Тут народ наверно смутился с числом классов.
На самом деле задача не требующая этих понятий (надо было мне сформулировать немного по другому).
Рассмотрим суммы:
$S_m=\frac{1}{(m+1)p} \sum\limits_{x=1}^{p-1} x^{m+1}=\frac{B_{m+1}}{m+1}+O(p^2)$.
Здесь $B_m$ число Бернулли (хотя знание этого так же не требуется).
Для удобства вычислений таких сумм удобнее умножать $x$ на $a$ и взять разницу:
$ax=p[ax/p]+y, \ (a^{m+1}-1)S_m=\sum_{j=0}^{a-1} jX_{a,j} +O(p), \ X_{a,j}=\sum\limits_{pj/a<x<p(j+1)/p} x^m $.
Имеет место так же, что $\sum\limits_j X_j =0+O(p).$
Отсюда комбинируя для $a=2,3,4$ можно получить более короткую формулу:
$e_2\frac{e_6-e_5+1-e_2}{2}S_m=X_{30,9}-(e_2+1)X_{30,5}+O(p),e_j=j^{-m}\pmod p$.
В случае, когда $m=\frac{p-1}{2}$ и $p=3 \pmod 4$ наша величина совпадает с числом классов, а суммы сводятся к суммам символов Лежандра. При этом в случае $p=3\pmod 8$ $e_2=-1.$.