Неравенство для субмартингала

[Hasek]

Цитата:

Пусть $\xi_n$ -- последовательность независимых случайных величин. Предположим, что существует $t > 0$ со свойством $E(e^{t\xi_n})=1$. Докажите, что $P(\sup_{k\in\mathbb{N}}S_k\geq x)\leq e^{-tx}$, где $S_n=\xi_1+\ldots+\xi_n$.

Почти решение:

Обозначим $\tau=\min\{k\colon S_k\geq x\}$, тогда

$$P(\sup_{k\in\mathbb{N}}S_k\geq x) = P(S_\tau\geq x) = P(tS_\tau\geq tx) = P(e^{tS_\tau}\geq e^{tx}) \leq \frac{E(e^{tS_\tau})}{e^{tx}} \leq \frac{E(e^{tS_n})}{e^{tx}}$$

Собственно, я не понимаю, а почему это числитель последней из оценок меньше либо равен $E(e^{t\xi_n})$? Ведь $\xi_n$ -- всего лишь одна из последовательностей, входящих в сумму $S_n$. Наверняка упускаю что-то очевидное.

[dsge]

Hasek в сообщении #1212040 писал(а):

Ведь $\xi_n$ -- всего лишь одна из последовательностей, входящих в сумму $S_n$.

Экспонента от суммы равна произведению экспонент.

[Hasek]

dsge в сообщении #1212185 писал(а):

Hasek в сообщении #1212040 писал(а):

Ведь $\xi_n$ -- всего лишь одна из последовательностей, входящих в сумму $S_n$.

Экспонента от суммы равна произведению экспонент.

Да, вот и получаем $E(e^{tS_n})=E(e^{t(\xi_1+\ldots+\xi_n)})=E(e^{t\xi_1})\cdots E(e^{t\xi_n})=E(e^{t\xi_1})\cdots E(e^{t\xi_{n-1}})\cdot 1$. А должны были бы единицу получить для желаемой оценки.

UPD: Ааа, или это я условие понял неправильно и имелось в виду, что $\exists t>0\colon \forall k=1,\ldots,n ~E(e^{t\xi_k})=1$?