Простое? Составное?

[Ktina]

При каких натуральных $k$ число

$$k^{2017}+k^2+1$$

- простое?

[iou]

Если $k \equiv 1 \mod 6$ и $k \ge 6$ (при $k=1$ число простое), то число составное, поскольку
$(6t+1)^{2017}+(6t+1)^2+1=\sum\limits_{k=1}^{2017} (6t)^{k} \binom{2017}{k}+36t^2+12t+3$ делится на $3$.
Если $k=6t+4$, то отщепляя одно слагаемое от первого бинома, получим, что $(6t+4)^{2017}+(6t+4)^2+1 \equiv 17+4^{2017} \equiv 3 \mod 6$, поэтому число делится на $3$

[iifat]

Короче говоря, если $k\equiv1\pmod3$, то $k^{2017}+k^2+1\equiv0\pmod3$

[Sonic86]

Гипотеза Буняковского сводит подобные вопросы для любого многочлена с целыми коэффициентами к вопросу о неприводимости многочлена.
Ну а данный многочлен, очевидно, приводим - он делится на $k^2+k+1$.
В общем случае алгоритм решения таких задач совершенно очевиден.