Простой вопрос про вероятности в квантовой механике

[Ascold]

Решил я получше изучить бра-кет нотацию и амплитуды перехода, читаю 1 том Мессиа. В пункте 3 параграфа 9 главы VIII пишется о вероятности обнаружить систему в состоянии $|\chi\rangle$, при условии, что в момент измерения она была в состоянии $\psi\rangle$, как квадрате модуля $\langle \chi|\psi\rangle$. Я всегда недопонимал, откуда это следует, и в предыдущих параграфах Мессиа тоже не нашёл обоснования. Для вероятности обнаружить частицу в некотором интервале $x$ имеем выражение $\int\psi^*(x)\psi(x)dx=\langle x|x\rangle,$ аналогично можно писать в импульсном пространстве, вводить функции, наблюдаемые, но как отсюда получить трактовку

$$\langle \chi|\psi\rangle$$

как вероятности, получается, перехода из состояния $|\psi\rangle$ в $|\chi\rangle$ или это дополнительный постулат?

[Cos(x-pi/2)]

В этом контексте $\langle \chi|\psi\rangle$ не есть вероятность перехода (вероятность - неотрицательное число, а $\langle \chi|\psi\rangle$ может быть комплексным числом) и не есть амплитуда перехода (переход описывается как эволюция системы под действием унитарного оператора, содержащего время и гамильтониан системы, а в выражении $\langle \chi|\psi\rangle$ нет гамильтониана).

Здесь надо трактовать $|\chi\rangle$ как одно из базисных состояний - как состояние с определённым значением (т.е. нефлуктуирующим) определённой физической величины: если бы система находилась в состоянии $|\chi\rangle,$ то измерения указанной физ. величины каждый раз давали бы одно и то же определённое значение. Другими словами: $|\chi\rangle$ - одно из собственных состояний оператора данной физ. величины; оно принадлежит конкретному собственному значению.

$|\psi\rangle$ - может быть разложено по любому базису, и, в частности, может представляться линейной суперпозицией указанных выше базисных состояний. Суперпозиция применяется в КМ для описания состояний, в которых рассматриваемая физ. величина флуктуирует: её измерения в состоянии $|\psi\rangle$ раз от раза могут давать разные значения.

$\langle \chi|\psi\rangle$ - это коэффициент при базисном состоянии $|\chi\rangle$ в разложении состояния $|\psi\rangle$ по собственным состояниям данной физ. величины.

В вероятностной интерпретации формализма КМ, предложенной М. Борном, предполагается, что квадраты модулей коэффициентов разложения состояний по ортонормированным базисным состояниям должны совпадать с экспериментально измеряемой вероятностью обнаружения разных значений рассматриваемой физ. величины. Т.е. $|\langle \chi|\psi\rangle|^2$ - вероятность обнаружения того значения физ величины, для которого $|\chi\rangle$ является собственным состоянием.

Это не "дополнительный" постулат, а основное предположение, на котором зиждется вся вероятностная интерпретация квантовой теории, в том числе - интерпретация принципа суперпозиции в КМ.

С этой точки зрения, $\langle \chi|\psi\rangle$ характеризует не переход в смысле унитарной динамики замкнутой квантовой системы, а "коллапс" состояния $|\psi\rangle$ в состояние $|\chi\rangle$ в процессе измерения.

[Munin]

С бра-кет нотацией есть загвоздка: её иногда используют по-разному.

Cos(x-pi/2) в сообщении #1211300 писал(а):

В этом контексте $\langle \chi|\psi\rangle$ не есть вероятность перехода (вероятность - неотрицательное число, а $\langle \chi|\psi\rangle$ может быть комплексным числом) и не есть амплитуда перехода (переход описывается как эволюция системы под действием унитарного оператора, содержащего время и гамильтониан системы, а в выражении $\langle \chi|\psi\rangle$ нет гамильтониана).

Очень часто $\langle\chi|\psi\rangle$ понимается, как вы сказали.

Однако Фейнман (выпендрёжник такой!) в своих ФЛФ 8-9 использует бра-кет нотацию ровно иначе: $\langle\chi|\psi\rangle$ как амплитуду перехода.

Однако это не противоречие. Это различие между соглашениями "шрёдингеровским" (Cos(x-pi/2)) и "гейзенберговским" (Фейнман), описанное в ЛЛ-3 § 13:
- в "шрёдингеровском представлении" в.ф. (и бра/кет-векторы) меняются со временем, а операторы физ. величин неподвижны;
- в "гейзенберговском представлении" в.ф. (и бра/кет-векторы) неподвижны, а операторы физ. величин меняются со временем.

Поэтому, если правильно понимать $\langle\chi|\psi\rangle$ как $\langle\chi(t_2)|\psi(t_1)\rangle,$ то имеем

$$\langle\chi(t_2)|\psi(t_1)\rangle=\langle\chi(t_2)|\widehat{S}(t_1,t_2)|\psi(t_1)\rangle=\langle\chi(t_2)|e^{-(i/\hbar)\widehat{H}(t_2-t_1)}|\psi(t_1)\rangle,$$

то есть, гамильтониан там вполне есть.

[Cos(x-pi/2)]

Это верно. Однако Ascold спросил конкретно про "1 том Мессиа, пункт 3 параграфа 9 главы VIII", в том контексте я и ответил: там акцент на измерении. Об эволюции с гамильтонианом речь идёт дальше, в пункте 4. Мне подумалось, что стоит заодно подчеркнуть разницу между понятиями "измерение" и "унитарная эволюция" (имхо, термин "переход" сам по себе не очень-то понятный :)

-- 21.04.2017, 19:16 --

В пункте 4 в книге опечатка: в правой стороне формулы (36) должно быть $\langle \chi|$ вместо $\langle \psi|$

[Ascold]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1211300 писал(а):

$\langle \chi|\psi\rangle$ - это коэффициент при базисном состоянии $|\chi\rangle$ в разложении состояния $|\psi\rangle$ по собственным состояниям данной физ. величины.

О, это я не заметил - не имею большой привычки к дираковской записи, теперь, с учётом ортогональности собственных векторов, ясно, благодарю.

Munin в сообщении #1211368 писал(а):

- в "шрёдингеровском представлении" в.ф. (и бра/кет-векторы) меняются со временем, а операторы физ. величин неподвижны;
- в "гейзенберговском представлении" в.ф. (и бра/кет-векторы) неподвижны, а операторы физ. величин меняются со временем.

Давайте тогда затронем и амплитуды перехода. Я этот вопрос понимаю так: (в шрёдингеровской картине) амплитуда вероятности, что система в состоянии $|\psi(t)\rangle,$ будет $\langle\psi(t)|\psi(t)\rangle$.
С другой стороны, $|\psi(t)\rangle =U(t,t_0)|\psi(t_0)\rangle,$ поэтому $\langle\psi(t)|\psi(t)\rangle=\langle\psi(t)|U(t,t_0)|\psi(t_0)\rangle,$ где $U(t,t_0)=e^{(-i/\hbar)\hat{H}(t-t_0)}.$
Я правильно рассуждаю?

[madschumacher]

Ascold в сообщении #1211419 писал(а):

Я правильно рассуждаю?

Ага.

[Ascold]

Munin в сообщении #1211354 писал(а):

Поэтому, если правильно понимать $\langle\chi|\psi\rangle$ как $\langle\chi(t_2)|\psi(t_1)\rangle,$ то имеем

$$\langle\chi(t_2)|\psi(t_1)\rangle=\langle\chi(t_2)|\widehat{S}(t_1,t_2)|\psi(t_1)\rangle=\langle\chi(t_2)|e^{-(i/\hbar)\widehat{H}(t_2-t_1)}|\psi(t_1)\rangle,$$

то есть, гамильтониан там вполне есть.

В самой левой части формулы имеется в виду представление Гейзенберга?

[Munin]

Ага.

-- 21.04.2017 22:51:02 --

У меня не очень хорошие обозначения. $\psi(t_1)$ и $\chi(t_2)$ - это состояния, которые приборами воспринимаются как $\psi$ и $\chi,$ взятые, соответственно, в моменты времени $t_1$ и $t_2.$