Метод комплексных чисел в геометрии

[Rusit8800]

В чем заключаются основные отличия между координатным методом и методом комплексных чисел в решении задач элементарной геометрии?

[Metford]

Если я правильно понимаю вопрос, то комплексные числа затруднительно применить в стереометрических задачах.

[kp9r4d]

А я понял это как вопрос: "В чём разница между $\mathbb{R}^2$ и $\mathbb{C}$?", - ну понятно в чём, в последнем умножать можно.

[Rusit8800]

Имеется ввиду по эффективности.

[DeBill]

А в планиметрии - комплексные числа , наоборот, хорошИ . Хорошо работают при описании движений-гомотетий, а также и для инверсий....

[sa233091]

Кстати кто-нибудь знает задачу элементарной геометрии, которая очень красиво решается с привлечением комплексных чисел и весьма затруднительно решается координатными методами?

[Rusit8800]

sa233091 в сообщении #1211384 писал(а):

Кстати кто-нибудь знает задачу элементарной геометрии, которая очень красиво решается с привлечением комплексных чисел и весьма затруднительно решается координатными методами?

И наоборот.

[Brukvalub]

sa233091 в сообщении #1211384 писал(а):

Кстати кто-нибудь знает задачу элементарной геометрии, которая очень красиво решается с привлечением комплексных чисел

Понарин целую книгу про это написАл.

[Rusit8800]

Brukvalub в сообщении #1211410 писал(а):

Понарин
целую книгу про это написАл.

Видел, конечно, но я не нашел в этой книжке подробного сравнения этих методов.

[arseniiv]

Думаю, если в задаче будут использоваться аффинные преобразования, не являющиеся изометриями, комплексные числа помогут не очень — их придётся «разбирать на части», чтобы выразить нужное. Насчёт же других вещей можно провести параллель с кватернионами — произведение (чисто векторных) кватернионов $q_1\bar q_2$ исторически породило отдельные скалярное и векторное произведение трёхмерных векторов, являющиеся его компонентами. Произведение комплексных чисел $z_1\bar z_2$ тоже имеет компонентами скалярное и т. н. псевдоскалярное произведение (аналогичное векторному в трёхмерии) соответствующих векторов. Так что с помощью этих двух можно выразить комплексное умножение, когда оно нужно, если не хочется ассоциировать свои векторы с комплексными числами ($z_1\bar z_2 = z_1\cdot z_2 - i(z_1\times z_2)$, где $\times$ обозначает псевдоскалярное произведение, в координатах (в правом базисе) $(x,y)\times(x',y') = xy' - yx'$, $\cdot$ — скалярное и не обозначаемая операция — комплексное). В простых случаях значительной разницы не должно быть.

(Отступление)

Если подходить к делу совсем последовательно, можно пустить в ход всю алгебру Клиффорда $C\!\ell(V)$ (псевдо)евклидова пространства $V$ целиком, существующую для таких пространств любой размерности (однозначно задаётся квадратичной формой). Как комплексные числа, так и кватернионы традиционно соответствуют двум её разным подпространствам: «просто векторы» — исходному $V$, а «поворачивающие штуки», с которыми связано умножение — подалгебре элементов чётной степени $C\!\ell^0(V)$. Для двумерного и трёхмерного $V$ последняя изоморфна соответственно $\mathbb C,\mathbb H$ как алгебрам над $\mathbb R$. Сама $C\!\ell(V)$ имеет размерность $2^{\dim V}$, и на некоторых элементах можно определить элементарные функции типа экспоненты или логарифма, и последние удобны для манипуляции ортогональными преобразованиями, и не обязательно глубоко знать теорию этих алгебр, чтобы пользоваться всем этим для простой геометрии (как не обязательно знать, скажем, ТФКП, чтобы пользоваться комплексными числами для двумерных задач). Правда, литературу школьного уровня с необходимым минимумом посоветовать не могу.

[VAL]

Маленький довесок к книжке Понарина (см. решение nnosipov'а).