2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Метод комплексных чисел в геометрии
Сообщение21.04.2017, 19:14 
Аватара пользователя


15/11/15
695
Москва
В чем заключаются основные отличия между координатным методом и методом комплексных чисел в решении задач элементарной геометрии?

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод комплексных чисел в геометрии
Сообщение21.04.2017, 19:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/04/13
1298
Москва
Если я правильно понимаю вопрос, то комплексные числа затруднительно применить в стереометрических задачах.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод комплексных чисел в геометрии
Сообщение21.04.2017, 19:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14
1260
А я понял это как вопрос: "В чём разница между $\mathbb{R}^2$ и $\mathbb{C}$?", - ну понятно в чём, в последнем умножать можно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод комплексных чисел в геометрии
Сообщение21.04.2017, 19:24 
Аватара пользователя


15/11/15
695
Москва
Имеется ввиду по эффективности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод комплексных чисел в геометрии
Сообщение21.04.2017, 19:27 
Заслуженный участник


10/01/16
1253
А в планиметрии - комплексные числа , наоборот, хорошИ . Хорошо работают при описании движений-гомотетий, а также и для инверсий....

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод комплексных чисел в геометрии
Сообщение21.04.2017, 19:36 


11/08/16
156
Кстати кто-нибудь знает задачу элементарной геометрии, которая очень красиво решается с привлечением комплексных чисел и весьма затруднительно решается координатными методами?

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод комплексных чисел в геометрии
Сообщение21.04.2017, 19:44 
Аватара пользователя


15/11/15
695
Москва
sa233091 в сообщении #1211384 писал(а):
Кстати кто-нибудь знает задачу элементарной геометрии, которая очень красиво решается с привлечением комплексных чисел и весьма затруднительно решается координатными методами?

И наоборот.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод комплексных чисел в геометрии
Сообщение21.04.2017, 20:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
12806
Москва
sa233091 в сообщении #1211384 писал(а):
Кстати кто-нибудь знает задачу элементарной геометрии, которая очень красиво решается с привлечением комплексных чисел

Понарин целую книгу про это написАл.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод комплексных чисел в геометрии
Сообщение22.04.2017, 13:57 
Аватара пользователя


15/11/15
695
Москва
Brukvalub в сообщении #1211410 писал(а):
Понарин
целую книгу про это написАл.

Видел, конечно, но я не нашел в этой книжке подробного сравнения этих методов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод комплексных чисел в геометрии
Сообщение22.04.2017, 17:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
19781
Уфа
Думаю, если в задаче будут использоваться аффинные преобразования, не являющиеся изометриями, комплексные числа помогут не очень — их придётся «разбирать на части», чтобы выразить нужное. Насчёт же других вещей можно провести параллель с кватернионами — произведение (чисто векторных) кватернионов $q_1\bar q_2$ исторически породило отдельные скалярное и векторное произведение трёхмерных векторов, являющиеся его компонентами. Произведение комплексных чисел $z_1\bar z_2$ тоже имеет компонентами скалярное и т. н. псевдоскалярное произведение (аналогичное векторному в трёхмерии) соответствующих векторов. Так что с помощью этих двух можно выразить комплексное умножение, когда оно нужно, если не хочется ассоциировать свои векторы с комплексными числами ($z_1\bar z_2 = z_1\cdot z_2 - i(z_1\times z_2)$, где $\times$ обозначает псевдоскалярное произведение, в координатах (в правом базисе) $(x,y)\times(x',y') = xy' - yx'$, $\cdot$ — скалярное и не обозначаемая операция — комплексное). В простых случаях значительной разницы не должно быть.

(Отступление)

Если подходить к делу совсем последовательно, можно пустить в ход всю алгебру Клиффорда $C\!\ell(V)$ (псевдо)евклидова пространства $V$ целиком, существующую для таких пространств любой размерности (однозначно задаётся квадратичной формой). Как комплексные числа, так и кватернионы традиционно соответствуют двум её разным подпространствам: «просто векторы» — исходному $V$, а «поворачивающие штуки», с которыми связано умножение — подалгебре элементов чётной степени $C\!\ell^0(V)$. Для двумерного и трёхмерного $V$ последняя изоморфна соответственно $\mathbb C,\mathbb H$ как алгебрам над $\mathbb R$. Сама $C\!\ell(V)$ имеет размерность $2^{\dim V}$, и на некоторых элементах можно определить элементарные функции типа экспоненты или логарифма, и последние удобны для манипуляции ортогональными преобразованиями, и не обязательно глубоко знать теорию этих алгебр, чтобы пользоваться всем этим для простой геометрии (как не обязательно знать, скажем, ТФКП, чтобы пользоваться комплексными числами для двумерных задач). Правда, литературу школьного уровня с необходимым минимумом посоветовать не могу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Метод комплексных чисел в геометрии
Сообщение22.04.2017, 17:47 
Заслуженный участник


27/06/08
3053
Волгоград
Маленький довесок к книжке Понарина (см. решение nnosipov'а).

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 11 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: svv


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group