"Развернуть" параболу

[vlad_light]

Подскажите, пожалуйста, как можно гладко отобразить параболу $\{(x, ax^2+bx)\mid x\in [-C, C]\}$ ($a, b, C$ -- известны) в отрезок $\{(x, 0)\mid x\in [\varphi (-C), \varphi (C)]\}$ так, чтоб сохранить длину?

[ET]

Вам это что ли нужно?
$\varphi (x)=\int \sqrt{1+(2ax+b)^2}dx$
интеграл должен быть берущимся заменой примерно похожей на $\sh t = 2ax+b$

[wintwir]

ET в сообщении #1211362 писал(а):

Вам это что ли нужно?
$\varphi (x)=\int \sqrt{1+(2ax+b)^2}dx$
интеграл должен быть берущимся заменой примерно похожей на $\sh t = 2ax+b$

Если точнее, то $\varphi (x)=\int\limits_0^x \sqrt{1+(2ax'+b)^2}dx'$, все-таки функцию строим.
vlad_light, неявно задача на подсчет длины кусочка параболы между точками $A=(-C, aC^2+bC)$ и $B=(C, aC^2+bC)$. Для этого строим криволинейный интеграл $\int\limits_A^B dl = \int\limits_{-C}^C \sqrt{1+(y'(x))^2}dx = \int\limits_{-C}^C \sqrt{1+(2ax+b)^2}dx$, он даст длину соответствующего кусочка.
Соответственно, $\varphi (x)=\int\limits_0^x \sqrt{1+(2ax'+b)^2}dx'$ будет искомым отображением на отрезок $x\in [\varphi (-C), \varphi (C)]$.

[ET]

(Оффтоп)

wintwir
Ну, да, просто во-первых, нижний предел интегрирования может быть какой угодно, какой автору понравится (он же там вообще $\varphi (-C)$ писал), во вторых, я подзабыл, как в латехе пределы интегрирования писать, в третьих сформулировал ТС задачу несколько странновато, ну а самое главное, я долго тупил, смотря на другие темы ТС, в которых он про функан спрашивал, что к 3му курсу относится, а если мы правильно поняли, что он хочет, то эта задачка к 1му курсу относится (а можно и на уровне школьника догадаться, если не задаваться тем, как интеграл брать), и чего тут ему можно спрашивать - непонятно

[vlad_light]

wintwir спасибо за объяснения :) Мне первого ответа было достаточно, просто забыл написать "спасибо" На самом деле задача у меня чуть сложнее -- нужно развернуть не параболу, а целую полоску, но это уже не проблема.
ET Спасибо!