Функциональное интегрирование

[Sicker]

Функциональное интегрирование подразумевает суммирование по всем возможным траекториям из пункта A в пункт B.
Но т.к. множество траекторий контининтуально, то взятие (и существование) такого интеграла представляет трудность.
Но я где-то читал, что траектории можно параметризовать как гауссианы, и тогда все корректно получается.
Как конкретно можно это сделать?

[Alex-Yu]

Sicker в сообщении #1211203 писал(а):

Но я где-то читал, что траектории можно параметризовать как гауссианы, и тогда все корректно получается.

Вы что-то путаете. Что еще за "параметризовать как гауссианы"???

На самом же деле так: единственный вид континуальных интегралов, которые вычисляются, это гауссовы интегралы и сводящиеся к ним. Как вычислять все остальные --- не знает никто (ну разве что численно "на решетке", т.е. заменяя приближенно бесконечнократный интеграл конечнократным). Гауссов интеграл --- это интеграл от экспоненты квадратичной формы. Подробности в Э.Зи "Квантовая теория поля в двух словах", там это очень хорошо и детально объяснено.

[Sicker]

Alex-Yu
А как численно на решетке? там же что-то типо сапога Шварца будет получаться)))

[Alex-Yu]

Sicker в сообщении #1211497 писал(а):

там же что-то типо сапога Шварца будет получаться

Что такое "сапог Шварца" я не знаю. И вообще решеточные расчеты --- очень специальная область, в которой я никак не спец. В общих чертах, вроде (!!!), так: непрерывное поле заменяется на дискретное (в узлах решетки), ограничивается пространственная область (так что узлов получается конечное число) а дальше оценка конечнократного (коль конечное число узлов) интеграла методом Монте-Карло.

[пианист]

Про интеграл Винера, если что, очень ясно кмк писал Шилов, вот, например: http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml ... n_lang=rus
Интеграл Фейнмана, насколько мне известно, корректно формализовать не удалось и перспектив такой формализации не видно.

[Sicker]

А как вообще можно понимать функциональный интеграл? Что это за $d\text{Ф}(x)$?

[Dan B-Yallay]

Sicker в сообщении #1211781 писал(а):

А как вообще можно понимать функциональный интеграл?

По разному. На Винера ссылку уже дали. Можно еще сделать аналог лебеговского интегрирования по Бохнеру:
АБСТРАКТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

[Alex-Yu]

Sicker в сообщении #1211781 писал(а):

А как вообще можно понимать функциональный интеграл?

Формально математически --- никак. Физически --- как очень-очень-очень многократный.

Вообще в физике бесконечностей в строгом математическом смысле не бывает. В физике бесконечность --- это очень-очень большое, но конечное число. Кстати, и интеграл --- тоже конечная сумма (но очень большая). Так что физически континуальный интеграл это обычный многократный интеграл но с кратностью, скажем, $10^{40}$ (а в численных рассчетах на решетки там много-много меньше). По той простой причине, что физическое пространство --- это вовсе даже и не континуум. Во всяком случае не факт, что континуум. Нельзя строго до бесконечности уменьшать шаг в интегральной сумме. По той простой причине, что, начиная с некого масштаба, уж во всяком случае начиная с планковского масштаба, это все (взятие предела) --- полнейшая бессмыслица. На достаточно малых масштабах вообще все не так, НИКАКАЯ теория не справедлива.

Впрочем, думаю, что математикам это все не доступно в принципе. Ничего страшного: математика --- отдельно, физика --- отдельно. Математикам полезно почитывать физическую литературу, физикам --- математическую. Но при этом не дай бог и тем и другим лезть со своим уставом (т.е. со своими принципами мышления) в не свою область!!!

-- Вс апр 23, 2017 18:06:46 --

Sicker в сообщении #1211781 писал(а):

Что это за $d\text{Ф}(x)$

Это $d\Phi(x_1)d\Phi(x_2)d\Phi(x_3)\dots$

[Sicker]

Alex-Yu
Вот мы вычислили значения на близких траекториях. Теперь на какой множитель их надо умножить?

[Alex-Yu]

Sicker в сообщении #1212105 писал(а):

Вот мы вычислили значения на близких траекториях. Теперь на какой множитель их надо умножить?

Ну во-первых, сначала нужно заменить непрерывные траектории на дискретные (набор значений в узлах решетки, заменить непрерывный набор $x$ на дискретный: $x_1,x_2\dots$). А уж потом умножать на разность в первом узле умножить на разность во втором и т.д.

[SergeyGubanov]

Alex-Yu в сообщении #1211859 писал(а):

Sicker в сообщении #1211781 писал(а):

Что это за $d\text{Ф}(x)$

Это $d\Phi(x_1)d\Phi(x_2)d\Phi(x_3)\dots$

Только если вдруг $\Phi$ не скалярная функция, а какая-нибудь там тензорная, то надо ещё домножить на функциональную меру интегрирования (это такой функциональный аналог квадратного корня из детерминанта метрического тензора $\sqrt{|g|}$ в римановой геометрии) -- никто же не обещал, что функциональное пространство "плоское" или что используемая система "функциональных координат" не является "криволинейной".

Правильно определить функциональное пространство и соответствующее ему функциональную меру интегрирования -- это ещё та задачка.