Диагонализация A^p = A

[Grabovskiy]

Здравствуйте. Прошу помочь решить следующую задачу. Пусть $V$ есть векторное пространство конечной размерности над полем $\mathbb{Z}_p$; пусть $A$ есть линейный оператор, действующий в этом пространстве, причем $A^p = A$. Нужно показать, что $A$ диагонализируем.

Что получилось: Из условия $A^p=A$ можно вывести, что $\operatorname{Ker} A = \operatorname{Ker} A^k$ и $\operatorname{Im} A = \operatorname{Im} A^k$ для любого натурального $k$. Из этого также можно получить, что $\operatorname{Ker} A \cap \operatorname{Im} A = \emptyset.$ Непонятно, нужно ли это, и в каком направлении двигаться.

[Padawan]

Какое достаточное условие диагонализируемости оператора Вы знаете? В терминах собственных значений.

[Brukvalub]

Grabovskiy в сообщении #1211032 писал(а):

Разве что: характеристический полином должен содержать столько корней с учетом кратности, сколько размерности есть у пространства.

Разве это гарантирует совпадение геометрических и алгебраических кратностей собственных значений?

[DeBill]

А для каких жордановых клеток $A$ это

Grabovskiy в сообщении #1210952 писал(а):

ичем $A^p = A$.

верно?

[Grabovskiy]

Brukvalub в сообщении #1211037 писал(а):

Разве это гарантирует совпадение геометрических и алгебраических кратностей собственных значений?

Плюс совпадение геометрических и алгебраических кратностей. Но у меня не получается из этого вывести утверждение, и других способов я не нахожу. Если доказывать по индукции, то проблема возникает в самом начале: непонятно, почему собственные числа могут существовать. Может, из $A^p = A$ как-то следует существование собственных чисел?

DeBill в сообщении #1211086 писал(а):

А для каких жордановых клеток $A$ это

Но тут ведь не алгебраически замкнутое поле, а жорданова форма, насколько мне известно, есть только в случае алгебраически замкнутых полей

[DeBill]

Grabovskiy в сообщении #1211095 писал(а):

есть только в случае алгебраически замкнутых поле

Нда, Вы правы. Может, рассмотреть расширение поля?

[Padawan]

Padawan в сообщении #1210974 писал(а):

Какое достаточное условие диагонализируемости оператора Вы знаете? В терминах собственных значений.

Немного не то спросил. Имел ввиду, что достаточно наличия $n$ различных собственных значений, где $n$ - размерность пространства. Тут это никаким боком.

Лучше так:

Вспомните такие понятия как аннулирующий многочлен, минимальный многочлен. А также вот эту теорему http://sernam.ru/book_matrix.php?id=43 (Гантмахер Теория матриц).