Задача с бусинкой

[EUgeneUS]

Rusit8800 в сообщении #1208320 писал(а):

EUgeneUS в сообщении #1208319

писал(а):
И как направлена эта скорость?
По касательной к окружности, как и $\[\overrightarrow {{a_\tau }} \]$

не к окружности.
Когда разберетесь, чему касательна скорость (а она всегда касательна ЭТОМУ), то аккуратнее представьте
а) на какую компоненту скорости действует центростремительное ускорение.
б) какое (по модулю и направлению) ускорение изменяет модуль скорости.

И тогда всё сложится.

[Munin]

Rusit8800 в сообщении #1208320 писал(а):

ТeX не поддерживает русский.

Во-первых, поддерживает: $v_\text{к}.$ Во-вторых, старайтесь давать понятные названия, понятные не только вам. Это вам и самому сильно пригодится в будущем. По-английски, кстати, было бы $f$ - final.

[EUgeneUS]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #1208339 писал(а):

wrest в сообщении #1208311

писал(а):
Вы как бы хотите свалить в кучу формулы и термины,.. и выудить из этой кучи ответ.
Причём не в первый раз уже.

Чтобы так не было - нужно сначала "представить себя бревном", в данном случае - бусиной без трения, а потом уже подбирать под получившуюся картинку "формулы и термины". Пока задачи в рамках того, чем себя можно представить - никаких проблем с решением быть не должно. А вот потом... У меня проблемы начались с квантмеха. Хотя формализмы Лагранжа и Гамильтона в виде картинок уже не мог представить :(

[Munin]

Есть такой психологический приём, хотя и не универсальный. Я им не пользуюсь, и мне он скорее не нравится. Разбираться можно не с того, чтобы "представить себя", а с того, чтобы "представить" ситуацию чем-то, что вы можете разложить на простые кусочки, и с каждым из них всё выяснить.

[fred1996]

Rusit8800
С чего вы взяли, что радиус кривизны вашей спирали равен $R$?
Представьте, что этот радиус маленький, а спираль вы растянули сильно.
Соответственно и локальная кривизна вашей спирали изменится.
Это чисто геометрическая задача.

-- 10.04.2017, 15:29 --

EUgeneUS в сообщении #1208340 писал(а):

а) на какую компоненту скорости действует центростремительное ускорение.

Центростремительное ускорение действует на нулевую компоненту скорости.

[Rusit8800]

Пусть $n$ -шаг, $H=nh$ - пройденное расстояние. Нашел родственную задачу в данной статье(задача 8).
Там было показано, что

$${a_\tau } = g\sin \alpha = \frac{{gh}}{{\sqrt {4{\pi ^2}{R^2} + {h^2}} }}$$

,

$${a_n} = \frac{{{v^2}}}{{R_k^2}} = \frac{{{v^2}{{\cos }^2}\alpha }}{R}$$

$${\cos ^2}\alpha = \frac{{4{\pi ^2}{R^2}}}{{4{\pi ^2}{R^2} + {h^2}}}$$

, значит

$${a_n} = \frac{{2Hg}}{R} \cdot \frac{{4{\pi ^2}{R^2}}}{{4{\pi ^2}{R^2} + {h^2}}} = \frac{{8{\pi ^2}HRg}}{{4{\pi ^2}{R^2} + {h^2}}}$$

[.
Поэтому окончательно получаем, что

$$ a= \sqrt {a_\tau ^2 + a_n^2} = \sqrt {\frac{{64{\pi ^4}{R^2}{g^2}{{(nh)}^2}}}{{{{(4{\pi ^2}{R^2} + {h^2})}^2}}} + \frac{{{g^2}{h^2}}}{{4{\pi ^2}{R^2} + {h^2}}}} = \frac{{gh}}{{4{\pi ^2}{R^2} + {h^2}}}\sqrt {64{\pi ^4}{n^2}{h^2} + 4{\pi ^2}{n^2} + {h^2}} $$

[wrest]

Rusit8800 в сообщении #1210432 писал(а):

Поэтому окончательно получаем, что

$$ a= \sqrt {a_\tau ^2 + a_n^2} = \sqrt {\frac{{64{\pi ^4}{R^2}{g^2}{{(nh)}^2}}}{{{{(4{\pi ^2}{R^2} + {h^2})}^2}}} + \frac{{{g^2}{h^2}}}{{4{\pi ^2}{R^2} + {h^2}}}} = \frac{{gh}}{{4{\pi ^2}{R^2} + {h^2}}}\sqrt {64{\pi ^4}{n^2}{h^2} + 4{\pi ^2}{n^2} + {h^2}} $$

По размерностям проверьте, у вас штуки складываются с метрами в последнем корне, например.

[Rusit8800]

Ой. Описочка небольшая. В тетради криво написал. Вот так должно быть.

$$a = \frac{{gh}}{{4{\pi ^2}{R^2} + {h^2}}}\sqrt {64{\pi ^4}{n^2}{h^2} + 4{\pi ^2}{R^2} + {h^2}} $$

[wrest]

Rusit8800 в сообщении #1210484 писал(а):

от так должно быть.

$$a = \frac{{gh}}{{4{\pi ^2}{R^2} + {h^2}}}\sqrt {64{\pi ^4}{n^2}{h^2} + 4{\pi ^2}{R^2} + {h^2}} $$

При стремлении $R$ к $0$ вроде по смыслу задачи должно получиться так, что бусинка просто падает вертикально и тогда $a=g$, как мне кажется. Но из вашего ответа этого не следует.
Рассмотрите ответ на предмет правдоподобности: когда спираль сильно вытянутая, когда спираль сильно сплюснутая, когда $h \gg R$, когда $R \gg h$, когда $R \simeq h$ когда $n \rightarrow 0$ и т.п. -- правдоподобны ли будут ответы?

[Rusit8800]

wrest в сообщении #1210489 писал(а):

когда $n \rightarrow 0$

Формула выдержала только это. Где же ошибка?

-- 19.04.2017, 20:19 --

Rusit8800 в сообщении #1210828 писал(а):

При стремлении $R$ к $0$ вроде по смыслу задачи должно получиться так, что бусинка просто падает вертикально и тогда $a=g$, как мне кажется.

А может так получается из-за того что в задаче заведомо рассматривается движение по окружности, но такого не будет, есть вместо спирали использовать проволоку?

[EUgeneUS]

Rusit8800 в сообщении #1210828 писал(а):

Формула выдержала только это. Где же ошибка?

Rusit8800 в сообщении #1210484 писал(а):

Ой. Описочка небольшая. В тетради криво написал.

Видимо, в этот раз криво переписали. Там явная техническая ошибка.

[Rusit8800]

Нашел ошибку, походу я операции над корнями подзабыл. Сейчас исправлю.

[EUgeneUS]

Rusit8800 в сообщении #1210831 писал(а):

Нашел ошибку, походу я операции над корнями подзабыл.

Да причем операции с корнями. Вы из под корня вытаскиваете одно, а под корнем оставляете тоже самое, удаляя совсем другое.

[Rusit8800]

$$a = \sqrt {\frac{{{g^2}{h^2}}}{{4{\pi ^2}{R^2} + {h^2}}}\left( {\frac{{64{\pi ^4}{R^2}{n^2}}}{{4{\pi ^2}{R^2} + {h^2}}} + 1} \right)} $$

-- 19.04.2017, 20:37 --

Это выражение выдерживает $R \to 0$, но после преобразований у меня всегда получается это

$$a = \frac{{gh}}{{4{\pi ^2}{R^2} + {h^2}}}\sqrt {64{\pi ^4}{n^2}{h^2} + 4{\pi ^2}{R^2} + {h^2}} $$

[EUgeneUS]

Rusit8800
Можно и так.

А можно, как Вы раньше написали:

Rusit8800 в сообщении #1210484 писал(а):

$$a = \frac{{gh}}{{4{\pi ^2}{R^2} + {h^2}}}\sqrt {64{\pi ^4}{n^2}{h^2} + 4{\pi ^2}{R^2} + {h^2}} $$

Но надо найти, где Вы ошиблись, и одну букву в одном месте заменить на другую.