Задача про конику

[Nickspa]

Одной линейкой постройте треугольник, вписанный в данную гладкую конику так, что его стороны проходят через три данные точки. Сколько решений бывает у этой задачи?

Есть пара мыслей. Можем построить любой вписанный треугольник, затем перевести его в нужный нам. Но как перевести, не знаю.
Или как-нибудь использовать треугольник с вершинами в данных точках. Может кто помочь?

[alcoholist]

Возьмите точку на конике (заданной в каноническом виде), проведите прямые через эту точку и две из трех данных.
Получите две точки пересечения этих прямых с коникой.
Запишите условие "две точки пересечения лежат на одной прямой с третьей из данных точек".
Двигайте точку на конике до тех пор, пока не выполнится условие.

[Nickspa]

alcoholist
Мысль понятна. Но не совсем понял про канонический вид. У меня просто нарисована коника, никаких координат и прочей алгебраической радости.
И какое условие про точки Вы имеете ввиду?
Ну и по поводу движения точки. Я же не могу непрерывно двигать точку и прямые с ней.

[alcoholist]

я не заметил, что задача на построение

-- Вт апр 11, 2017 13:26:22 --

кстати, подумайте, что будет в случае окружности

[DeBill]

Nickspa
Тяжелая задача, однако...
1. Все коники (конические сечения) - "одинаковы" (получаются друг из друга центральным проектированием плоскости на плоскость из вершины конуса). Поэтому будем считать коникой - единичную окружность $\gamma$.
2. Пусть точка $a$ не лежит на $\gamma$, и $f_a$ - отображение, ставящее в соответствие точке $z \in\gamma$ точку пересечения с $\gamma$ прямой $az$.
Прямые выкладки дают: $f_a(z) = \frac{a-z}{1-\bar{a}z}$, так что $f_a$ - конформный автоморфизм круга на себя (если $a$ - внутри).
3. Пусть $a,b,c$ - три точки не на $\gamma$. Условие "есть тр-к (с вершинами $A,B,C$ на $\gamma$), такой, что прямые $AB,BC,CA$ содержат точки $a,b,c$" означает : $f_a(A)=B, f_b(B)= C, f_c(C)= A$, так что $A$ - неподвижная точка для композиции $F=f_c \circ f_b \circ f_a$.
4. $F$ - дробно-линейное, и имеет либо одну, либо две неподвижных точки (либо - тождественно)
5. $F$ переводит $\gamma$ в себя.
6. Если неподвижная точка $F$ не лежит на $\gamma$, то симметричная ей - тоже неподвижна (из 5)), и на $\gamma$ нет неподвижных.
7. $f_a$ - инволюция: $f_a \circ f_a = id$

-- 19.04.2017, 03:59 --

8. (Из 4 и 6). На $\gamma$ $F$ имеет либо 0, либо 1, либо 2, либо $\infty$ неподвижных точек. Значит, и ЗАДАЧА имеет столько же решений.
9. Примеры:
а) Три точки около центра - нет решений
б) Вписанный правильный треугольник; точка $a$ - середина основания $AB$, две других - (симметрично) - на боковых сторонах. Т.к. $F(A) = A,$ но $F(B)\ne B$, то $F\ne id$, и ЗАДАЧА имеет конечное, причем нечетное (из симметричности) число решений. Значит, одно.
в) (Вписанная) звезда Давида дает два решения
г) (следует из потомных выкладок) Для $a=2-2i, b=\frac{1}{2}, c=2+\frac{3}{2}i$ решений б. много

[DeBill]

10. Пусть $f_{ab} = f_b\circ f_a$, прямая $ab$ пересекает $\gamma$ в точках $p$ и $q$. Тогда $p$ и $q$ - неподвижные для $f_{ab}$

11. Построение неподвижных для $ f=f_{ab}$: пусть $z_j \in \gamma$, $x_j = f_a(z_j), y_j = f_b(x_j), j=1,2,3$. По теореме Паскаля, точка пересечения $M$ прямых $z_1y_2$ и $z_2y_1$ лежит на прямой $ab$. Построив по другой паре точек еще одну точку на этой прямой, найдем прямую $ab$. Точки ее пересечения с $\gamma$ и есть точки $p,q$. ВАЖНО: использовали только линейку, и само отображение $f$
12. $f_{ab}(z) = e^{i\theta}\cdot\frac{C-z}{1-\bar{C}z}$, (1) где
$e^{i\theta} = \frac{b\bar{a}-1}{1-a\bar{b}}, C=\frac{a-b}{1-b\bar{a}}$ (2)
13. Лемма. Любое $f$ вида (1) совпадает с некоторым $f_{ab}$
Док-во: решим систему (2)
14. Итог: Из 4 и 5: $F$ имеет вид $(1)$, и "линейко-выполним" . Из 13: его неподвижные точки можно построить линейкой по 11.

-- 19.04.2017, 04:52 --

Точнее: мы построили некую прямую $MN$; точки ее пересечения с $\gamma$ и есть искомые неподвижные $z$ (0,1 или 2). При $M=N$: все точки неподвижны

[Skeptic]

Nickspa в сообщении #1208574 писал(а):

Одной линейкой постройте треугольник, вписанный в данную гладкую конику так, что его стороны проходят через три данные точки. Сколько решений бывает у этой задачи?

Есть пара мыслей. Можем построить любой вписанный треугольник, затем перевести его в нужный нам. Но как перевести, не знаю.
Или как-нибудь использовать треугольник с вершинами в данных точках. Может кто помочь?

Рассмотрите обратную задачу.
Сколькими способами можно расположить три точки на вписанном треугольнике?
Для каждого способа подсчитать количество решений.