вопрос на тему равномерной сходимости и признака Лейбница

[bananaman]

$a_n$ равномерно сходится к 0 на $X (n\to\infty) $
$\forall x\in X \exists N: \forall k \geqslant N: a_{n+1}(x) \leqslant a_n(x)$

Верно ли, что $\sum\limits_{n=1}^{\infty } (-1)^{n}a_n$ сходится равномерно на $X$?

Мои идеи: если бы это отличалось от пр-ка Лейбница только тем, что члены ряда убывают с какого-то номера, на бесконечности это не имело бы значения, и ряд бы сходился равномерно. Но условие $\forall x \in X$ в начале показывает, что $N$ зависит от $x$, и сходимость знакопеременного ряда будет, но не равномерная. Осталось только привести контрпример, с чем у меня и проблемы.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Не сокращайте слова без надобности.

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Lia]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Dan B-Yallay]

bananaman в сообщении #1210627 писал(а):

$a_n$ равномерно сходится к 0 на $X (n\to\infty) $
$\forall x\in X \exists N: \forall k \geqslant N: a_{n+1}(x) \leqslant a_n(x)$

Равномерная сходимость разве так пишется? И да, индексы в последнем неравенстве наверное с $k$ а не с $n$.

[Brukvalub]

Подойдет что-то типа $X=R$ , $a_n(x) = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ если $ x \in [n, n^3]$ и $0$ иначе.