Категорные базисы и копроизведения

[Grabovskiy]

Здравствуйте. Прошу помочь с решением двух упражнений из нулевой главы книги Хелемского, "Лекции по функциональному анализу".

Для начала (на всякий случай) несколько определений.
Определение 1. Пара $(\mathcal K, \square)$ называется конкретной категорией, где $\square : \mathcal K \rightarrow \text{SET}$ -- забывающий функтор (очищает объекты от их структур и выдает "чистое" множество)
Определение 2. Пусть $(\mathcal K, \square)$ есть некоторая конкретная категория, $X$ -- некоторый объект $\mathcal K$. Подмножество $S \subset \square (X)$ называется базисом объекта $X$, если для любого объекта $Y$ из $\mathcal K$ и любого отображения $\varphi : S \rightarrow \square(Y)$ существует единственный морфизм $f : X\rightarrow Y$ (в $\mathcal K$), что $\square (f) j = \varphi$, где $j:S \rightarrow \square(X)$ -- естественное вложение.

Упражнение 1. Если два объекта в некоторой конкретной категории имеют равномощные базисы, то они изоморфны.

Попытка решения. В качестве отображения $\varphi$ я беру изоморфизм $i$ между двумя базисами. Пусть $j_1, j_2$ -- вложения из определения, $f_1, f_2$ -- соответствующие морфизмы. Тогда я получаю, что $\square(f_1) j_1 = i$, $\square(f_2)j_2 = i^{-1}$, откуда $\square(f_1)j_1\square(f_2)j_2 = \text{id}$ и $\square(f_2)j_2\square(f_1)j_1 = \text{id}$. Но я получил, что отображение $\square(f_1)j_1$ биективно, и обратное к нему есть $\square(f_2)j_2$. Как из этого найти изоморфизм?

Определение 3. Пусть $\mathcal K$ есть некоторая категория, $(X_s : s \in S)$ есть некоторое семейство ее объектов, $\{i_s : X_s \rightarrow X\}$ -- некоторое семейство морфизмов. Пара $(X,\{i_s: s\in S\})$ называется копроизведением семейства $(X_s : s\in S)$, если для любого объекта $Y$ и семейства морфизмов $\{\varphi_s : X_s \rightarrow Y\}$ существует единственный морфизм $\psi : X \rightarrow Y$ такой, что $\psi i_s = \varphi_s$.

Упражнение 2. Пусть $(\mathcal K, \square)$ есть некоторая конкретная категория, и пусть в этой категории существует объект $I$ с базисом, мощность которого равна единице. Пусть $S$ есть базис некоторого объекта $X$. Тогда существует набор морфизмов $i_s : I_s\rightarrow X$, где $s \in S$ и $I_s = I$, такой, что пара $(X,\{i_s\})$ есть копроизведение семейства $\{I_s\}$.

Попытка решения. Обозначим: $e \in \square(I)$ -- базисный элемент. Семейство морфизмов $i_s$ строим так: пусть $\lambda_s : I_s \rightarrow \square(X)$ есть некоторое отображение, причем $\lambda_s(e) = s$. Тогда из определения базиса получаем единственное семейство $i_s$ такое, что $\square(i_s) (e) = s$. Нужно показать, что $(X,\{i_s\})$ есть копроизведение семейства $\{I_s\}$. Пусть $Y$ есть произвольный объект в $\mathcal K$, $\{\varphi_s : I_s \rightarrow Y\}$ есть произвольное семейство морфизмов. Рассмотрим такое отображение: $\varphi : S \rightarrow \square(Y)$, $\varphi(s) = \varphi_s(e)$. Тогда из определения базиса для объекта $X$ получаем единственный морфизм $f: X \rightarrow Y$ такой, что $\square(f)(s) = \varphi(s)$ для всех $s \in S$. Кажется, что этот $f$ и нужно взять в качестве того самого $\psi$ из определения копроизведения. Но непонятно, как ведет себя $f$ при подстановке образов элементов из $I_s$ под действием $i_s$, т.е. у меня есть только равенство $\square(f i_s)(e) = \varphi_s(e)$, но я не могу понять, сохраняется ли это равенство при подстановке других элементов из $I_s$.

[Xaositect]

Grabovskiy в сообщении #1210118 писал(а):

В качестве отображения $\varphi$ я беру изоморфизм $i$ между двумя базисами. Пусть $j_1, j_2$ -- вложения из определения, $f_1, f_2$ -- соответствующие морфизмы.

Непонятно, чему именно соответствуют $f_1$ и $f_2$.

Grabovskiy в сообщении #1210118 писал(а):

Упражнение 1. Если два объекта в некоторой конкретной категории имеют равномощные базисы, то они изоморфны.

Заметьте, что если $\varphi = j$, то $f = \operatorname{id}$. Определите морфизмы $f_1\colon X_1 \to X_2$, $f_2\colon X_2 \to X_1$ и докажите, что $f_2 f_1$ тоже будет удовлетворять универсальному свойству для $\varphi = j$.

Grabovskiy в сообщении #1210118 писал(а):

Пусть $Y$ есть произвольный объект в $\mathcal K$, $\{\varphi_s : I_s \rightarrow Y\}$ есть произвольное семейство морфизмов. Рассмотрим такое отображение: $\varphi : S \rightarrow \square(Y)$, $\varphi(s) = \varphi_s(e)$.

Стоп. У нас $\varphi_s$ - морфизм в $\mathcal{K}$, а Вам надо отображение множеств. Тут должно быть $\square\varphi_s(e)$.
Попробуйте записать это свойство без элементов, как композицию морфизмов. Посмотрите внимательно, какие у нас есть морфизмы: у нас есть отображения $\{e\} \to S$(для каждого элемента $s\in S$ отображение $e\mapsto s$), у нас есть морфизмы $I \to X$, $I \to Y$ и у нас есть отображения $\square I \to \square X$, $\square I \to \square Y$
\xymatrix { \{e\}\ar[dr]\ar@/^1em/@{>->}[rrrr] & \{e\}\ar[d]\ar@/^1em/@{>->}[rrrr] & \{e\}\ar[dl]\ar@/^1em/@{>->}[rrrr] & & \square I\ar[dr]\ar[ddr] & \square I \ar[d]\ar@/^1em/[dd] & \square I \ar[dl]\ar[ddl] & \ar@{--}[dd] & I\ar[dr]\ar[ddr] & I\ar[d]\ar@/^1em/[dd] & I\ar[dl]\ar[ddl] \\ & S\ar@{>->}[rrrr]\ar[drrrr] & & & & \square X\ar[d] & & & & X\ar[d] & \\ & & & & & \square Y & & & & Y & \\ }

[Grabovskiy]

Xaositect, оба упражнения получились, большое спасибо!

[Padawan]

Упражнение 1 можно обобщить. Пусть $\square : \mathcal K \rightarrow \mathcal S$ - произвольный функтор. Объект $X$ категории $\mathcal K$ будем называть свободным относительно морфизма $j\colon S\to \square X$ категории $\mathcal S$, если для любого объекта $Y$ из $\mathcal K$ и любого морфизма $\varphi \colon S\to\square Y$ существует единственный морфизм $f\colon X\to Y$ в $\mathcal K$ такой, что $\square(f) j=\varphi$.

Если для $k=1,2$ $X_k$ -- свободный объект относительно морфизма $j_k\colon S_k\to\square X_k$, и объекты $S_1, S_2$ изоморфны в $\mathcal S$, то объекты $X_1, X_2$ изоморфны в $\mathcal K$.