2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки



Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Категорные базисы и копроизведения
Сообщение17.04.2017, 10:17 


16/01/14
73
Здравствуйте. Прошу помочь с решением двух упражнений из нулевой главы книги Хелемского, "Лекции по функциональному анализу".

Для начала (на всякий случай) несколько определений.
Определение 1. Пара $(\mathcal K, \square)$ называется конкретной категорией, где $\square : \mathcal K \rightarrow \text{SET}$ -- забывающий функтор (очищает объекты от их структур и выдает "чистое" множество)
Определение 2. Пусть $(\mathcal K, \square)$ есть некоторая конкретная категория, $X$ -- некоторый объект $\mathcal K$. Подмножество $S \subset \square (X)$ называется базисом объекта $X$, если для любого объекта $Y$ из $\mathcal K$ и любого отображения $\varphi : S \rightarrow \square(Y)$ существует единственный морфизм $f : X\rightarrow Y$$\mathcal K$), что $\square (f) j = \varphi$, где $j:S \rightarrow \square(X)$ -- естественное вложение.

Упражнение 1. Если два объекта в некоторой конкретной категории имеют равномощные базисы, то они изоморфны.

Попытка решения. В качестве отображения $\varphi$ я беру изоморфизм $i$ между двумя базисами. Пусть $j_1, j_2$ -- вложения из определения, $f_1, f_2$ -- соответствующие морфизмы. Тогда я получаю, что $\square(f_1) j_1 = i$, $\square(f_2)j_2 = i^{-1}$, откуда $\square(f_1)j_1\square(f_2)j_2 = \text{id}$ и $\square(f_2)j_2\square(f_1)j_1 = \text{id}$. Но я получил, что отображение $\square(f_1)j_1$ биективно, и обратное к нему есть $\square(f_2)j_2$. Как из этого найти изоморфизм?

Определение 3. Пусть $\mathcal K$ есть некоторая категория, $(X_s : s \in S)$ есть некоторое семейство ее объектов, $\{i_s : X_s \rightarrow X\}$ -- некоторое семейство морфизмов. Пара $(X,\{i_s: s\in S\})$ называется копроизведением семейства $(X_s : s\in S)$, если для любого объекта $Y$ и семейства морфизмов $\{\varphi_s : X_s \rightarrow Y\}$ существует единственный морфизм $\psi : X \rightarrow Y$ такой, что $\psi i_s = \varphi_s$.

Упражнение 2. Пусть $(\mathcal K, \square)$ есть некоторая конкретная категория, и пусть в этой категории существует объект $I$ с базисом, мощность которого равна единице. Пусть $S$ есть базис некоторого объекта $X$. Тогда существует набор морфизмов $i_s : I_s\rightarrow X$, где $s \in S$ и $I_s = I$, такой, что пара $(X,\{i_s\})$ есть копроизведение семейства $\{I_s\}$.

Попытка решения. Обозначим: $e \in \square(I)$ -- базисный элемент. Семейство морфизмов $i_s$ строим так: пусть $\lambda_s : I_s \rightarrow \square(X)$ есть некоторое отображение, причем $\lambda_s(e) = s$. Тогда из определения базиса получаем единственное семейство $i_s$ такое, что $\square(i_s) (e) = s$. Нужно показать, что $(X,\{i_s\})$ есть копроизведение семейства $\{I_s\}$. Пусть $Y$ есть произвольный объект в $\mathcal K$, $\{\varphi_s : I_s \rightarrow Y\}$ есть произвольное семейство морфизмов. Рассмотрим такое отображение: $\varphi : S \rightarrow \square(Y)$, $\varphi(s) = \varphi_s(e)$. Тогда из определения базиса для объекта $X$ получаем единственный морфизм $f: X \rightarrow Y$ такой, что $\square(f)(s) = \varphi(s)$ для всех $s \in S$. Кажется, что этот $f$ и нужно взять в качестве того самого $\psi$ из определения копроизведения. Но непонятно, как ведет себя $f$ при подстановке образов элементов из $I_s$ под действием $i_s$, т.е. у меня есть только равенство $\square(f i_s)(e) = \varphi_s(e)$, но я не могу понять, сохраняется ли это равенство при подстановке других элементов из $I_s$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Категорные базисы и копроизведения
Сообщение17.04.2017, 14:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
5876
Grabovskiy в сообщении #1210118 писал(а):
В качестве отображения $\varphi$ я беру изоморфизм $i$ между двумя базисами. Пусть $j_1, j_2$ -- вложения из определения, $f_1, f_2$ -- соответствующие морфизмы.
Непонятно, чему именно соответствуют $f_1$ и $f_2$.

Grabovskiy в сообщении #1210118 писал(а):
Упражнение 1. Если два объекта в некоторой конкретной категории имеют равномощные базисы, то они изоморфны.
Заметьте, что если $\varphi = j$, то $f = \operatorname{id}$. Определите морфизмы $f_1\colon X_1 \to X_2$, $f_2\colon X_2 \to X_1$ и докажите, что $f_2 f_1$ тоже будет удовлетворять универсальному свойству для $\varphi = j$.

Grabovskiy в сообщении #1210118 писал(а):
Пусть $Y$ есть произвольный объект в $\mathcal K$, $\{\varphi_s : I_s \rightarrow Y\}$ есть произвольное семейство морфизмов. Рассмотрим такое отображение: $\varphi : S \rightarrow \square(Y)$, $\varphi(s) = \varphi_s(e)$.
Стоп. У нас $\varphi_s$ - морфизм в $\mathcal{K}$, а Вам надо отображение множеств. Тут должно быть $\square\varphi_s(e)$.
Попробуйте записать это свойство без элементов, как композицию морфизмов. Посмотрите внимательно, какие у нас есть морфизмы: у нас есть отображения $\{e\} \to S$(для каждого элемента $s\in S$ отображение $e\mapsto s$), у нас есть морфизмы $I \to X$, $I \to Y$ и у нас есть отображения $\square I \to \square X$, $\square I \to \square Y$
\xymatrix {
\{e\}\ar[dr]\ar@/^1em/@{>->}[rrrr] & \{e\}\ar[d]\ar@/^1em/@{>->}[rrrr] & \{e\}\ar[dl]\ar@/^1em/@{>->}[rrrr] & & \square I\ar[dr]\ar[ddr] & \square I \ar[d]\ar@/^1em/[dd] & \square I \ar[dl]\ar[ddl] & \ar@{--}[dd] & I\ar[dr]\ar[ddr] & I\ar[d]\ar@/^1em/[dd] & I\ar[dl]\ar[ddl] \\
& S\ar@{>->}[rrrr]\ar[drrrr] & & & & \square X\ar[d] & & & & X\ar[d] & \\
& & & & & \square Y & & & & Y & \\
}

 Профиль  
                  
 
 Re: Категорные базисы и копроизведения
Сообщение17.04.2017, 21:54 


16/01/14
73
Xaositect, оба упражнения получились, большое спасибо!

 Профиль  
                  
 
 Re: Категорные базисы и копроизведения
Сообщение18.04.2017, 06:15 
Заблокирован по собственному желанию


13/12/05

3475
Упражнение 1 можно обобщить. Пусть $\square : \mathcal K \rightarrow \mathcal S$ - произвольный функтор. Объект $X$ категории $\mathcal K$ будем называть свободным относительно морфизма $j\colon S\to \square X$ категории $\mathcal S$, если для любого объекта $Y$ из $\mathcal K$ и любого морфизма $\varphi \colon S\to\square Y$ существует единственный морфизм $f\colon  X\to Y$ в $\mathcal K$ такой, что $\square(f) j=\varphi$.

Если для $k=1,2$ $X_k$ -- свободный объект относительно морфизма $j_k\colon S_k\to\square X_k$, и объекты $S_1, S_2$ изоморфны в $\mathcal S$, то объекты $X_1, X_2$ изоморфны в $\mathcal K$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group