Индекс подгруппы в группе

[Seda]

Здравствуйте,задача такая . Пусть $F=<a,b>$,а N-нормальная подгруппа в F, порожденным $ b^2,ab$ слов.Найти индекс N в F?

Индекс подгруппы, тем самым, равен числу классов эквивалентности по отношению $\sim$. По условию, $ab \sim b^2 \sim 1$, откуда $b \sim b^-^1 \sim a$, и $a^2\sim1$. Это значит, что в любом слове можно заменить буквы $b^±^1$ на $a$ получая эквивалентное слово. Из того, что $a^2 \sim 1$ следует, что любое слово эквивалентно или $1$, или $a$. Значит, классов эквивалентности не больше двух. С другой стороны, их ровно два, так как у эквивалентных слов длины имеют одинаковую чётность, что следует из определения N. Итого, индекс подгруппы N в свободной группе равен двум.
А если у меня подгруппа порожденным $a^3,b^2,aba^-^1b^-^1$ то не знаю чем заменить $a^3$ чтобы получить $a^3 \sim b^2 \sim aba^-^1b^-^1 \sim 1$ так как $b^2 \sim 1$ и$aba^-^1b^-^1 \sim 1$

[Karan]

По определению.
Напишите, где конкретно у Вас возникают трудности с применением определений. И формулы поправьте.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Помогите решить / разобраться (М)» в форум «Карантин»
по следующим причинам:

- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);
- отсутствуют собственные содержательные попытки решения задач(и).

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.

[Karan]

Тема перемещена из форума «Карантин» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Brukvalub]

Seda в сообщении #1210269 писал(а):

Пусть $F=<a,b>$,а N-нормальная подгруппа в F, порожденным $ b^2,ab$ слов

Мне одному кажется, что фразе "подгруппа в F, порожденным $ b^2,ab$ слов" не хватает согласований слов, поэтому ее невозможно понять? Например, как получилось, что

Seda в сообщении #1210269 писал(а):

По условию, $ab \sim b^2 \sim 1$

?

[Sonic86]

Brukvalub в сообщении #1210437 писал(а):

Seda в сообщении #1210269 писал(а):

Пусть $F=<a,b>$,а N-нормальная подгруппа в F, порожденным $ b^2,ab$ слов

Мне одному кажется, что фразе "подгруппа в F, порожденным $ b^2,ab$ слов" не хватает согласований слов, поэтому ее невозможно понять? Например, как получилось, что

Seda в сообщении #1210269 писал(а):

По условию, $ab \sim b^2 \sim 1$

?

Да он просто имеет ввиду, что $N=\langle b^2, ab\rangle$ (ну а как иначе?), а $\sim$ - отношение эквивалентности принадлежности смежным классам факторгруппы $F/N$, откуда все это и следует.
Ну написано да, коряво конечно.

Seda в сообщении #1210269 писал(а):

А если у меня подгруппа порожденным $a^3,b^2,aba^-^1b^-^1$ то не знаю чем заменить $a^3$ чтобы получить $a^3 \sim b^2 \sim aba^-^1b^-^1 \sim 1$ так как $b^2 \sim 1$ и$aba^-^1b^-^1 \sim 1$

Начните с упрощения соотношения $aba^{-1}b^{-1}\sim 1$.
Чуть более общо: можно просто начать перебирать все слова $F$ увеличивая их длину (это можно изображать в виде $S$-графа с метками) - довольно быстро выясняется, что какие-то слова эквивалентны - мы исключаем их эквивалентные и продолжаем процесс до тех пор, пока не исчерпаем весь список.
Но вообще, конечно, такой прием сработает, если индекс конечен. Если он бесконечен - мы это не таки способом не определим, просто начнем смутно догадываться.

(формулы)

наведите мышкой на мою последнюю формулу - узнаете, как писать много текста в верхнем индексе