Задача Дирихле

[Sicker]

Red_Herring
А вот тут http://lib.alnam.ru/book_bop.php?id=121 на 347 странице пишут функцию Грина без граничных условий, как для точечного заряда.

-- 17.04.2017, 00:14 --

И как все это согласуется с теорией Гюйгенса-Френеля, где каждая точка фронта излучает волну, ведь она не знает ни про какие граничные условия?

[Vince Diesel]

Это другая формула, типа гармоническая в области функция представляется в виде суммы потенциалов простого слоя и двойного слоя. Но в ней участвуют значение функции $u$ и ее нормальной производной $\frac{\partial u}{\partial n}$ на границе. В задаче же Дирихле дана только $u|_S$. Если же взять такую формулу (о сумме двух потенциалов) не для фундаментального решения, а для функции Грина, то упс! второе слагаемое пропадет и получится та формула, с которой вы начали.

[Sicker]

Vince Diesel в сообщении #1210052 писал(а):

Но в ней участвуют значение функции $u$ и ее нормальной производной \frac{$\partial u}{\partial n}$ на границе.

Почему? Чем это уравнение Гельмгольца отличается от уравнения Лапласа?

[svv]

Sicker в сообщении #1209967 писал(а):

Пусть у нас есть замкнутая поверхность с заданной на ней функцией $g(x), x\in S$, где $S$-поверхность.
И надо найти распределение $\psi$ внутри и снаружи это поверхности (внешняя и внутренняя задача Дирихле), которое удовлетворяет уравнению Лапласа $\Delta \psi=0$ (или Кирхгофа, если рассматривать оптику).
Решение имеет вид $\psi(x)=\int g(y)\frac{\partial G(x-y)}{\partial n} dS$, где $G(x-y)$ - функция Грина оператора Лапласа (потенциал единичного точечного заряда).

Несмотря на подчёркнутое мной в цитате (и на название темы), я не думаю, что здесь идёт речь о решении задачи Дирихле. Я предлагаю другую интерпретацию. Написанный интеграл — потенциал двойного слоя, а функция $g(y)$, где $y\in S$, — его плотность. Далее, $G(x-y)=\frac{1}{4\pi|x-y|}$ (или $\frac{e^{ik|x-y|}}{4\pi|x-y|}$), а не функция Грина для данной области.

Автор пишет, что функция $g(y)$ задана, следовательно, можно найти $\psi(x)$ внутри и снаружи без всяких дополнительных условий на границе (и мы не вправе их задавать).

По поводу предельных значений (о чём автор спрашивал в первом сообщении) — есть формула, связывающая скачок значений потенциала на границе в точке $y$ с плотностью $g(y)$:
$\psi_+-\psi_-=g$
Однако ни $\psi_+$, ни $\psi_-$ (предельные значения потенциала снаружи и изнутри) не равны $g$. Сам потенциал и плотность его источников на границе — совершенно разные величины.

[Sicker]

svv в сообщении #1210055 писал(а):

По поводу предельных значений (о чём автор спрашивал в первом сообщении) — есть формула, связывающая скачок значений потенциала на границе в точке $y$ с плотностью $g(y)$:
$\psi_+-\psi_-=g$

В вики такая же штука теория потенциала

Sicker в сообщении #1209982 писал(а):

А это точно верно? Просто если например мы в какой-то точке поверхности сделаем дельта-образный скачок $g(x)$, то это неизбежно приведет к изменению значения в нашей точке, которое пропорционально $a$(и имеет такой же порядок), если скачок $a\delta(x)$

-- 17.04.2017, 00:58 --

svv в сообщении #1210055 писал(а):

Однако ни $\psi_+$, ни $\psi_-$ (предельные значения снаружи и изнутри) не равны $g$. Сам потенциал и плотность его источников на границе — совершенно разные величины.

Так в книге по приведенной ссылке ошибка или что?
Я вообще запутался...

[Munin]

Sicker в сообщении #1209982 писал(а):

А это точно верно? Просто если например мы в какой-то точке поверхности сделаем дельта-образный скачок $g(x)$

Не путайте. $g(x)$ у вас потенциал, а не заряд. С зарядом можно так обращаться. С потенциалом - не стоит (иначе заряд станет второй производной от дельты, а это вещь по физическим понятиям странная (первая производная - не странная, а просто двойной слой или точечный диполь)).

Ой, чёрт, я практически подсказал, как решать.

[Sicker]

А причем тут вообще заряды? У нас есть ядро интегрального оператора, которое со сверткой с функцией потенциала дает поле. Ничего кроме потенциалов нет.

[Munin]

Sicker в сообщении #1210038 писал(а):

И как все это согласуется с теорией Гюйгенса-Френеля, где каждая точка фронта излучает волну

Никак, потому что там не уравнение Лапласа

[Sicker]

Munin в сообщении #1210059 писал(а):

иначе заряд станет второй производной от дельты, а это вещь по физическим понятиям странная (первая производная - не странная, а просто двойной слой или точечный диполь

Хорошо, тогда можно просто удвоить $g(x)$ в какой-то конечной области.

Munin в сообщении #1210062 писал(а):

Никак, потому что там не уравнение Лапласа

А че там? Гельмгольц, который по сути такой же Лаплас, только с поправкой.

[Munin]

Sicker в сообщении #1210061 писал(а):

А причем тут вообще заряды? У нас есть ядро интегрального оператора, которое со сверткой с функцией потенциала дает поле. Ничего кроме потенциалов нет.

Вот именно, и дельта-функции ни при чём.

[svv]

Sicker в сообщении #1210057 писал(а):

Так в книге по приведенной ссылке ошибка или что?

Борн, Вольф «Основы оптики»? Какая имеется в виду формула или утверждение?

-- Пн апр 17, 2017 01:31:08 --

Имеется в виду формула (8)? Ни $\frac 1 s$, ни $\frac{\partial}{\partial n}\left(\frac 1 s\right)$ не есть функции Грина задачи Дирихле либо Неймана для данной области.

Одно и то же решение $\psi(x)$ уравнения Лапласа или Гельмгольца внутри области можно представить в виде потенциала простого слоя с некоторой плотностью на границе, в виде потенциала двойного слоя с (уже другой) плотностью, и даже в виде суперпозиции потенциалов простого и двойного слоя — смотря какая форма удобна для исследований. Последний вариант удобен в случае, если на границе области известен и потенциал, и его нормальная производная (понятно, что в этом случае о решении краевых задач речь не идёт). И формула (8) — его воплощение.

[Vince Diesel]

Sicker в сообщении #1210054 писал(а):

Почему? Чем это уравнение Гельмгольца отличается от уравнения Лапласа?

Ничем. В приведенной ссылке формулы для обоих уравнений приведены.

[Red_Herring]

Sicker в сообщении #1210061 писал(а):

А причем тут вообще заряды? У нас есть ядро интегрального оператора, которое со сверткой с функцией потенциала дает поле. Ничего кроме потенциалов нет.

Не с функцией потенциала, а с плотностью заряда. И она удовлетворяет уравнению, в правой части которой дельты.

Если же мы возьмём просто функцию Грина для всего пространства, то при интегрировании по области мы получим $u = \hat{G}f+ \hat{P}g +\hat{Q}h$, где h значение производной на границе, если через $g$ мы имеем потенциал двойного слоя, то через $h$ простого. Безусловно, мы не можем задавать на границе и $g$ и $h$. Но находя отсюда значение $u$ на границе, мы получим интегральное уравнение для $h$.

[Sicker]

Munin в сообщении #1210067 писал(а):

Вот именно, и дельта-функции ни при чём.

Мы можем задать какую угодно $g(x)$.

svv в сообщении #1210069 писал(а):

Имеется в виду формула (8)? Ни $\frac 1 s$, ни $\frac{\partial}{\partial n}\left(\frac 1 s\right)$ не есть функции Грина задачи Дирихле либо Неймана для данной области.

А зачем они их привели? Да еще как окончательное решение.

svv в сообщении #1210069 писал(а):

Последний вариант удобен в случае, если на границе области известен и потенциал, и его нормальная производная (понятно, что в этом случае о решении краевых задач речь не идёт)

Тогда переизбыток граничных условий.

[svv]

В краевой задаче мы не можем задавать на границе области потенциал и его нормальную производную независимо. С этим никто не спорит.
А здесь (формула (8)) ситуация другая. Формула гласит: если про потенциал уже известно, что он является решением уравнения в области, и уже известны граничные значения потенциала и нормальной производной, то значение в любой внутренней точке можно получить вот так.