Симметрия отражения пространства. ФЛФ вып. 4 гл. 52

[Uchitel'_istorii]

madschumacher в сообщении #1209738 писал(а):

...
тогда, поскольку
$\mathbf{c}=[\mathbf{a} \times \mathbf{b}] = \begin{pmatrix} a_y b_z - a_z b_y \\ a_z b_x - a_x b_z \\ a_x b_y - a_y b_x \end{pmatrix} $, то
$\mathbf{c}'=[\mathbf{a}' \times \mathbf{b}'] = \begin{pmatrix} a_y' b_z' - a_z' b_y' \\ a_z' b_x' - a_x' b_z' \\ a_x' b_y' - a_y' b_x' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_y b_z - a_z b_y \\ -(a_z b_x - a_x b_z) \\ -(a_x b_y - a_y b_x) \end{pmatrix} $

Это так, только если вектор $\begin{pmatrix} a_y' b_z' - a_z' b_y' \\ a_z' b_x' - a_x' b_z' \\ a_x' b_y' - a_y' b_x' \end{pmatrix}$ равен преобразованному $ \begin{pmatrix} a_y b_z - a_z b_y \\ a_z b_x - a_x b_z \\ a_x b_y - a_y b_x \end{pmatrix} $. Или $\begin{pmatrix} a_y' b_z' - a_z' b_y' \\ a_z' b_x' - a_x' b_z' \\ a_x' b_y' - a_y' b_x' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_y b_z - a_z b_y \\ a_z b_x - a_x b_z \\ a_x b_y - a_y b_x \end{pmatrix} '$.
Или $[\mathbf{a}' \times \mathbf{b}'] =[\mathbf{a} \times \mathbf{b}]'$.
Или $\mathbf{c}'=[\mathbf{a}' \times \mathbf{b}']$-- откуда это уравнение получено?

[Cos(x-pi/2)]

Может быть я не прав (тогда поясните, пожалуйста, почему), но по-моему утверждение

Uchitel'_istorii в сообщении #1209727 писал(а):

Мы не можем вычислить в явном виде $\mathbf{\omega'}\times\mathbf{r'}$, т.к. $\mathbf{\omega}$ -- аксиальный вектор,-- и мы не знаем, как такие векторы преобразуются

является троллингом. Кто эти "мы", которые не знают, как преобразуются аксиальные векторы?

Аксиальный вектор $\mathbf{\omega}$ преобразуется, наглядно говоря, как ось вращения колеса. Если при преобразовании получается колесо, вращающееся с той же по величине угловой скоростью, но в противоположную сторону, по сравнению с исходным, значит $\mathbf{\omega'} = -\mathbf{\omega}.$ Если в ту же сторону, то $\mathbf{\omega'} = \mathbf{\omega}.$ Эти и все прочие варианты следуют из реального наблюдения колёс, вращающихся вокруг всяких разных осей, а их описание на языке математических моделей - из построений типа отражений точек относительно плоскостей и поворотов радиус-векторов точек, и сравнением результата в модели с наблюдениями колёс.

Добавлю, что векторы всех типов - геометрические объекты, с которыми можно (а на стадии обучения этому необходимо научиться) иметь дело в бескоординатной форме, как с объектами на чертежах. Это важно потому, что в физических явлениях координат нет, а сами явления, которым в моделях удаётся сопоставить векторы, - есть.

После того, как геометрическая картина выяснена, да, удобно для дальнейших расчётов ввести так или иначе направленные декартовы орты, разложить по ним все векторы, и тем самым перейти от черчения к алгебре. Тогда преобразование компонент любого истинного вектора $\mathbf{v}$ при повороте или отражении в общем виде описывается формулами линейного преобразования с коэффициентами $U_{ik},$ зависящими от выбора оси поворота или плоскости отражения:

$v'_i = U_{ik} v_k$ (по дважды повторяющемуся индексу здесь и далее подразумевается суммирование).

При этом закон преобразования любого псевдовектора $\mathbf{a}$ имеет вид:

$a'_i = \operatorname{det}U \, U_{ik} a_k$ ,

где $\operatorname{det}U$ - определитель матрицы с элементами $U_{ik},$ причём, доказывается, что $\operatorname{det}U=1$ в случае поворота и $\operatorname{det}U=-1$ в случае отражения - вот тот "дополнительный минус" в законе преобразования псевдовектора, о котором говорилось мной выше.

(Кстати, аналогично определяется и закон преобразования псевдотензора любого ранга: он записывается так же как закон преобразование истинного тензора того же ранга, дополненный множителем $\operatorname{det}U.)$

На этом языке формула векторного произведения имеет вид:

$(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})_i=e_{ikl}\omega_k r_l$ ,

где $e_{ikl}$ - единичный совершенно антисимметричный (к перестановкам любых двух индексов) псевдотензор 3-го ранга; проверяется, что он оказывается инвариантным и к поворотам и к отражениям: $e'_{ikl}=e_{ikl}.$ Отсюда следует, что:

$(e_{ikl}\omega_k r_l)'=e_{ikl}\omega'_k r'_l$ .

Можно ли утверждать, что это то же самое, что $(\boldsymbol{\omega} \times \mathbf{r})'_i?$ Да, потому что именно такой результат дают и непосредственные наблюдения, т.е. геометрические построения с отражёнными векторами $\boldsymbol{\omega}$ и $\mathbf{r}.$ Вот пример при частном выборе плоскости отражения:

[madschumacher]

Uchitel'_istorii в сообщении #1209753 писал(а):

Или $\mathbf{c}'=[\mathbf{a}' \times \mathbf{b}']$-- откуда это уравнение получено?

Из физических соображений. Ну вот представьте себе. У Вас есть момент импульса $\mathbf{L} = [\mathbf{r} \times \mathbf{p}]$, который Вы уже упоминали. Вот применили Вы симметрию... и у Вас он (новый момент импульса $\mathbf{L}$),

(иллюстрация)

как хвостик у Иа, "отвалился" от своего "туловища" (векторов $\mathbf{r}$ и $\mathbf{p}$). Ну и нафиг нам такая симметрия нужна? Все формулы и величины должны остаться "зацепленными" друг за друга, иначе это не симметрия, а хрень какая-то (преобразованная система не совместилась сама с собой).

Конечно, наверняка можно формально какие-то преобразования типа $ ([\mathbf{a} \times \mathbf{b}])' \neq [\mathbf{a}' \times \mathbf{b}']$ поизучать, но нафиг они нужны -- не очевидно.

(из пустого в порожнее)

чтобы дать какую-то формульную идею, можно рассмотреть двойное векторное произведение обычных векторов $\mathbf{a}$, $\mathbf{b}$ и $\mathbf{c}$:
$[\mathbf{a} \times [\mathbf{b} \times \mathbf{c}]] = \mathbf{b} \cdot (\mathbf{a} \cdot \mathbf{c} ) - \mathbf{c} \cdot (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} ) $.
Это произведение -- тоже обычный вектор, поэтому при преобразовании симметрии должно быть
$([\mathbf{a} \times [\mathbf{b} \times \mathbf{c}]])'= \mathbf{b}' \cdot \underbrace{ (\mathbf{a}' \cdot \mathbf{c}' ) }_{(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c} )} - \mathbf{c}' \cdot \overbrace{ (\mathbf{a}' \cdot \mathbf{b}' ) }^{(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} ) }$
(скалярное произведение при преобразовании симметрии не должно меняться, т.к. оно по требованию -- унитарное преобразование), из чего можно заключить, что для псевдовектора $([\mathbf{b} \times \mathbf{c}] )' = [\mathbf{b}' \times \mathbf{c}']$...

Но это опять же из пустого в порожнее переливание.

[Alex-Yu]

Очень интересная дискуссия. Но мало что объясняющая. А на самом деле все просто: аксиальный вектор --- это вообще не вектор, а асимметричный тензор второго ранга. Естественно, тензор второго ранга не меняется при инверсии, он же преобразуется как $x_ix_j$ т.е. как вторая степень координат. Минус на минус дает плюс, как в школе говорили

На мой нестандартный взгляд, честно говоря, векторное произведение вообще зря придумали. Вполне можно обходиться антисимметризованным тензорным произведением типа $a_ib_j-b_ia_j$. Не надо изобретать лишние сущности. Но теперь уже ничего не поделать, это изобретение (векторное произведение) --- вещь уже стандартная, никуда не денешься.

[Cos(x-pi/2)]

Alex-Yu
Так то оно так, но тогда уж, если быть последовательным до упора (в смысле: обходиться только антисимметричными тензорами), то вместе с аксиальными векторами надо похерить и полярные. Потому что, перефразируя ваши слова, полярный вектор - это тоже не вектор, а асимметричный псевдотензор второго ранга.

Линейная скорость вращающейся точки $\omega_ix_j-x_i \omega_j$ как раз служит примером антисимметричного псевдотензора второго ранга; и, на мой взгляд, из этого примера видно, что понятия полярного и аксиального вектора одинаково полезны.

Хотя, конечно, известны и примеры того, как переход от векторных обозначений к тензорным упрощает вид уравнений (например, уравнения Максвелла в терминах $F_{\mu \nu}).$

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #1209772 писал(а):

На мой нестандартный взгляд, честно говоря, векторное произведение вообще зря придумали. Вполне можно обходиться антисимметризованным тензорным произведением типа $a_ib_j-b_ia_j$.

Исторически ситуация была такая: параллельно и более-менее одновременно были созданы несколько версий векторной алгебры (и анализа), на современном языке: внешние формы (Грассман) и то, что ныне стандартный векторный анализ. Второе проистекало из кватернионов Гамильтона, путём обдирания с них скалярной части. И потом "обычные" векторы победили просто в конкурентной борьбе.

Почему так получилось? Причины, видимо, случайные и социальные. Версия Гамильтона была на тот момент лучше технически оснащена и сколочена (вспомним мнемоники $\operatorname{div}=\nabla\cdot{},\,\,\operatorname{rot}=\nabla\times$ ). За неё вступались лучшие "пропагантисты" - авторы учебников. Она проще для быстрого и поверхностного изучения (не надо изучать "лестницу" типов объектов, достаточно ограничиться двумя: скалярами и векторами). В общем, и хорошо. Электротехникам и сегодня незачем внешними формами мо́зги пудрить. А теорфизики с тех пор заметно подросли, знают уже и тензоры, и группы Ли.

Изл. по:
Crowe. A History of Vector Analysis. (доклад 2002 по книге)

[Alex-Yu]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1209778 писал(а):

то вместе с аксиальными векторами надо похерить и полярные.

Ни в коем случае! Ибо полярные векторы --- есть фундаментальное представление группы $SO(3)$. А уж потом из них строятся все остальные тензоры. И асимметричные тензоры второго ранга (псевдовекторы или, что то же самое, аксиальные векторы) тоже.

Кстати, псевдоскаляр --- это асимметричный тензор третьего ранга. Легко заметить, что условие асимметрии сводит число независимых компонент к одной. Также вполне естественно, что тензор третьего (и вообще нечетного) ранга при инверсии меняет знак.

-- Вс апр 16, 2017 14:23:05 --

Cos(x-pi/2) в сообщении #1209778 писал(а):

обходиться только антисимметричными тензорам

Не, это не получится. Симметричные тензоры тоже нужны, без них никак. В конце-концов прямое произведение двух векторов (фундаментальных представлений) сразу разбивается на два независимых представления: симметричное и асимметричное. Никак нельзя оставить только асимметричное.

-- Вс апр 16, 2017 14:28:16 --

Munin в сообщении #1209781 писал(а):

Причины, видимо, случайные и социальные.

Мне вот интересно, а по каким причинам символ Леви-Чевита традиционно определяется как не меняющий знак при инверсии... Вообще-то тензор нечетного ранга при инверсии должен менять знак. И тогда (если символ Леви-Чевита определить как честный тензор, меняющий знак при инверсии) векторное произведение будет честным полярным вектором, без всякого там "псевдизма-аксиализма" Правда, тогда анализ инверсионной симметрии (или отсутствия оной) станет технически не столь тупо-прямолинейным (но зато более осмысленным физически).

[Cos(x-pi/2)]

(Оффтоп)

Совсем я не знаток истории, может быть ошибусь, но для себя я объясняю это именно тем, что именно как псевдотензор символ Леви-Чевита оказывается инвариантным к преобразованиям из группы $O(3)$, более широкой, чем $SO(3)$; такая инвариантность - привлекательное свойство.

Потребность в тензорах, инвариантных к $O(3)$ возникает, например, при феноменологическом описании явлений в изотропных средах с центром инверсии.

(Не лучший, но зато хорошо известный пример. Пусть в изотропной среде задана плотность электрического тока $\mathbf{j}$ и магнитное поле $\mathbf{H}.$ Разложим по их степеням возникшее в среде электрическое поле $\mathbf{E(j,H)}:$

$E_i=\rho_{ik}j_k+\rho_{ikl}H_lj_k+\rho_{iklm}H_lH_mj_k+...$

Здесь все коэффициенты разложения (тензоры "ро") должны, по принципу Неймана, быть инвариантными к преобразованиям симметрии направлений в среде. В случае $O(3)$ сразу очевидно, что строительным материалом послужат $\delta_{ik}$ и $e_{ikl}.$ Конкретно: тензор удельного сопротивления должен иметь вид $\rho_{ik}=\rho \delta_{ik},$ где $\rho$ - скаляр; псевдотензор коэффициентов Холла: $\rho_{ikl}=Re_{ikl},$ где $R$ - тоже скаляр, раз уж $e_{ikl}$ псевдотензор; тензор коэффициентов магнетосопротивления $\rho_{iklm}$ - строится из произведений "дельт" (поленюсь его выписывать, в нём будет не три, а два скалярных коэффициента, так как он заведомо должен быть симметричным по индексам $lm,$ поскольку сворачивается с симметричным тензором $H_lH_m).$

[Munin]

Alex-Yu в сообщении #1209802 писал(а):

Мне вот интересно, а по каким причинам символ Леви-Чевита традиционно определяется как не меняющий знак при инверсии...

Я могу только гадать, но это выглядит тоже удобным чисто техническим соглашением: вот вам набор буковок, за которыми всегда стоят одни и те же цифры, константно, гарантированно. Это нуль, это символ Кронекера, это символ Леви-Чивиты. Для людей, которые чаще считают, чем занимаются инверсиями пространства, это удобно.

Alex-Yu в сообщении #1209802 писал(а):

если символ Леви-Чевита определить как честный тензор, меняющий знак при инверсии

То, что вы описываете, называется иначе: форма объёма. Она ещё и при масштабировании пространства меняется.

[Uchitel'_istorii]

Cos(x-pi/2) в сообщении #1209760 писал(а):

Может быть я не прав (тогда поясните, пожалуйста, почему), но по-моему утверждение

Uchitel'_istorii в сообщении #1209727 писал(а):

Мы не можем вычислить в явном виде $\mathbf{\omega'}\times\mathbf{r'}$, т.к. $\mathbf{\omega}$ -- аксиальный вектор,-- и мы не знаем, как такие векторы преобразуются

является троллингом. Кто эти "мы", которые не знают, как преобразуются аксиальные векторы?

Аксиальный вектор $\mathbf{\omega}$ преобразуется, наглядно говоря, как ось вращения колеса.

Первое. Стараюсь читать дополнительный материал как можно меньше, т.к. мне больше нравится изложение Фейнмана. Когда я дочитаю Фейнмана, возможно, Ваши пояснения станут понятны, но сейчас -- нет.
Второе. Начал вспоминать, как у Фейнмана появляется векторное произведение. Вначале он вывел момент силы через работу $\tfrac{\Delta W}{\Delta \theta}=r_xF_y-r_yF_x$+ еще 2 плоскости (причем направление вращения не влияет на знак выражения, на знак влияет только направление осей, которые можно 1-й раз направить произвольно). Потом доказал, что полученные три числа удовлетворяют преобразованиям вектора. А потом ввел сокращенное обозначение для этого псевдовектора -- $\mathbf{r\times F}$,-- а также сокращенное обозначение для последнего -- $\boldsymbol{\tau}$. И в конце дается правило правого винта как соглашение, но это правило не нужно, т.к. есть оси и 3 координаты этого псевдовектора.

madschumacher в сообщении #1209764 писал(а):

$([\mathbf{a} \times [\mathbf{b} \times \mathbf{c}]])'= \mathbf{b}' \cdot \underbrace{ (\mathbf{a}' \cdot \mathbf{c}' ) }_{(\mathbf{a} \cdot \mathbf{c} )} - \mathbf{c}' \cdot \overbrace{ (\mathbf{a}' \cdot \mathbf{b}' ) }^{(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} ) }$
(скалярное произведение при преобразовании симметрии не должно меняться, т.к. оно по требованию -- унитарное преобразование), из чего можно заключить, что для псевдовектора $([\mathbf{b} \times \mathbf{c}] )' = [\mathbf{b}' \times \mathbf{c}']$

С 1-м уравнением цитаты согласен, 2-е -- не понял , как получилось.

[madschumacher]

Uchitel'_istorii в сообщении #1210044 писал(а):

С 1-м уравнением цитаты согласен

Ну ещё бы Вы с ним спорили бы...

Uchitel'_istorii в сообщении #1210044 писал(а):

2-е -- не понял , как получилось.

Методом пристального всматривания. Это просто элементарнейший способ реализовать подобное равенство.
Вообще, кмк, Вы хотите подменить простое и естественное требование для симметрии

$([\mathbf{a} \times \mathbf{b}])' = [\mathbf{a}' \times \mathbf{b}']$

(т.е.)

т.е. требование сохранения бинарной операции "векторное умножение". При этом же требование сохранения другой операции: $(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} )' = (\mathbf{a}' \cdot \mathbf{b}' )$, то бишь скалярного произведения, Вас не смущает...

на некое НЁХ другой, вероятно, менее естественной формальной конструкцией.

[Munin]

Uchitel'_istorii в сообщении #1210044 писал(а):

Стараюсь читать дополнительный материал как можно меньше

Ну тут уж точно приходится развести руками.

Зачем же вы тогда читаете форум? Это же тоже дополнительный материал.

[Cos(x-pi/2)]

Uchitel'_istorii в сообщении #1210044 писал(а):

Когда я дочитаю Фейнмана, возможно, Ваши пояснения станут понятны, но сейчас -- нет.

Ясно. Ну, тогда пока и не буду напрягаться с ответами. Добавлю только, что мои пояснения касались именно того вопроса, который Вы задали с самого начала - о фиг. 52.3, стр. 248 в ФЛФ-4; в пояснениях я разжёвывал Вам именно содержание такого рода рисунков.

На рисунке 52.3, стр. 248 в ФЛФ-4, если помните, Фейнман показал, как вращающееся колесо отражается в плоскости, перпендикулярной оси вращения; Фейнман использовал эту картину для определения понятия "аксиальный вектор". Фейнман, конечно, подразумевал, что такая картинка немедленно подтолкнёт читателя к самостоятельным попыткам рассмотреть отражения колеса и в других плоскостях! Ведь это совсем не трудно, притом интересно, и как раз рассмотрение отражений колеса (а также обычного полярного вектора) в самых разных плоскостях, а не только в одной, ведёт к полному пониманию закона преобразования асиального вектора при отражениях, к пониманию его отличий от преобразования полярного вектора.

Кроме того, для той же цели не обязательно рассматривать колесо, годится и любой ориентированный виток. Поэтому Фейнман на следующем рисунке (фиг. 52.4) показал отражение витков с электрическим током, причём на этот раз Фейнман выбрал плоскость отражения, параллельную аксиальному вектору (вектору магнитного поля, создаваемого витками с током) - это опять намёк читателю, что для полного понимания преобразования аксиальных векторов надо рассматривать разные взаимные положения векторов и плоскостей отражения.

Фейнман, конечно, не мог позволить себе потратить лекционное время на подробное рисование всевозможных многочисленных примеров (да и книга превратилась бы в толстый альбом чертежей, с колёсами и витками); он разумно ограничился немногими примерами, подталкивая читателя к развитию этих примеров путём самостоятельных упражнений, обобщений.

То же самое относится и к другим разделам в ФЛФ, включая те, где Фейнман вводит понятие момента силы, момента импульса, векторного произведения и т.д.: Фейнман не даёт исчерпывающих формул для запоминания, а лаконично обрисовывает только основные идеи (принципы) - их читатель должен довести до своего ума и развить путём разнообразных самостоятельных упражнений, с чтением более подробных книг по механике и векторному анализу. Вот примерно об этом я и написал вам в пояснениях... которые, к сожалению, Вы посчитали непонятными.

Причина же вашего непонимания, как мне видится из ваших слов, кроется в неверной трактовке самого духа фейнмановских лекций: Вы воспринимаете лекции Фейнмана догматично, как полный перечень "теорем и доказательств", и за их рамки Вы себе запрещаете заглядывать. Это Ваша большая ошибка. На самом деле Фейнман, чаще всего, только мастерски указывает начальные идеи и затем приводит наиболее важные вытекающие из них результаты, оставляя читателю много места для самостоятельной "доводки" идей до результатов. Вы же воспринимаете такие места как "отсутствие доказательств", и приходите на форум жаловаться на Фейнмана (по крайней мере, на мой взгляд, именно так здесь выглядит ваше недовольство "отсутствием доказательств" в ФЛФ).

[Munin]

Совершенно верно. ФЛФ нельзя воспринимать как "полный учебник", это самая большая ошибка, которую в отношении них можно совершить.

[Uchitel'_istorii]

madschumacher в сообщении #1210050 писал(а):

При этом же требование сохранения другой операции: $(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} )' = (\mathbf{a}' \cdot \mathbf{b}' )$, то бишь скалярного произведения, Вас не смущает

Для скалярного произведения это можно доказать. $\mathbf{a}' \cdot \mathbf{b}' =a_{x'}b_{x'}+a_{y'}b_{y'}=(-a_{x})(-b_{x})+a_{y}b_{y} = a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}$ .
Известно, что скаляры не меняются при отражении (напр. длина вектора), поэтому $(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} )'=(a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}) ' = a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}$ . Это независимое уравнение, а значит можно его использовать при доказательстве и сказать: раз правые части уравнений равны , то и левые -- равны.