Исправляю 8.г.
г)

.
Ответ:

.
Доказательство.
...
У

нет предельных точек (см. пункт в), а у

Мне это не очень нравится. Вы ввели новые сущности (это, может быть, и хорошо само по себе) и никак не аргументируя используете их свойства (а это потенциальный источник проблем). Здесь можно было привычными приёмами указать в любой окрестности 0 бесконечное много членов последовательности и для произвольной другой точки найти такие

и

, что члены последовательности с большими номерами не попадают в эту окрестность.
Мое новое доказательство не использует обозначения для подпоследовательностей, но мне показалось все равно проще сразу выделить из исходной последовательности члены разных видов. Так можно?

состоит из членов видов

и

.
Аналогично пункту в), в

произвольной точки

содержится не более одного члена вида

.

существует натуральное

, отсюда

выполнено

т.е. любая

содержит почти все члены

вида

.
Таким образом,

является единственной точкой, любая

-окрестность которой содержит бесконечно много членов

, и значит единственной предельной точкой

.
-- 16.04.2017, 19:49 --Напишите пожалуйста, с задачей 9 все хорошо?
-- 16.04.2017, 20:00 --Выкладываю пока следующие задачи.
Определение 7.
Последовательность

называется подпоследовательностью последовательности

, если существует такая последовательность натуральных чисел

, что

и

для каждого

.
Задача 10.
Если последовательность имеет предел

, то и любая ее подпоследовательность также имеет предел

.
Доказательство.
Пусть

-- некоторая подпоследовательность последовательности

, и пусть

.
Вне произвольной

находится не более чем конечное число членов

. По определению,

является бесконечной последовательностью, каждый член которой совпадает с некоторым членом

, причем членам

с различными номерами соответствуют члены

с различными номерами (другими словами отображение, сопоставляющее каждому члену

некоторый член

, является инъекцией). Значит членам

вне

может соответствовать не более чем конечное число членов

, а остальные (почти все) члены

содержатся в

. Значит,

по определению 5.
-- 16.04.2017, 20:08 --Задача 11.
Если

является предельной точкой последовательности, то из этой последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к

. Верно ли обратное утверждение?
Доказательство.
Пусть

-- предельная точка последовательности

.
Возьмем произвольный

и с помощью алгоритма из первой части доказательства задачи 6 построим из членов

подпоследовательность

, все члены которой содержатся внутри

. Тогда

.
Обратное утверждение также верно, т.е. если из последовательности можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к точке

, то

является предельной точкой родительской последовательности.
Пусть

-- некоторая подпоследовательность последовательности

, и

. В любой

содержится бесконечно много членов

. Каждый член

является также членом

. Значит, в любой

содержится бесконечно много членов

. Тогда по задаче 6,

является предельной точкой

.
-- 16.04.2017, 20:18 --Определение 8.
Последовательность

называется ограниченной, если

.
Задача 12.
Доказать, что если последовательность имеет предел, то она ограничена. Верно ли обратное утверждение?
Доказательство.
От противного. Предположим, у неограниченной последовательности

существует предел

. Возьмем произвольный

. Вне

находится не более чем конечное число членов

. Выберем из членов

вне

наибольший по модулю и обозначим модуль его значения как

. Тогда, раз все члены

внутри

меньше

, все члены вне

меньше либо равны

, то все члены

по модулю меньше

. Это означает ограниченность

по определению. Значит, наше предположение неверно, и неограниченная последовательность не может иметь предел.
Обратное утверждение -- если последовательность ограничена, то она имеет предел -- неверно. Контрпример: последовательность

из задачи 5.в, не имеющая предела и ограниченная при этом любым числом, большим единицы.