Anton_Peplov,мне кажется, Вы приняли выражение "доказывать сдуру тривиальные вещи" на свой счет. Я, конечно, Вас, или других людей, которые занимаются самообучением и в ходе этого доказывают сами для себя то, что для меня тривиально, не имел в виду. На самом деле, действительно, моя фраза была неоднозначной, ее можно было понимать по разному. Так что извините если Вас задел.
Короче, вот еще одна попытка объяснения на сей счет. Рассмотрим этот самый пример: доказательство того, что в группе
единичный элемент единственен.
Нормальная ситуация такая: студент это доказательство услышал на лекции или прочитал в книжке, а потом продумал и сам для себя еще раз доказал. Или, может, человек, который когда-то это доказательство видел, а потом всё забыл и лет ...дцать
спустя решил у себя в голове предмет алгебры восстановить. Или человек, занимающийся самообразованием. Короче, то, что Вы описываете, это нормальная проработка учебного материала, именно так всё и должно быть, и не имеет значения, что этот материал относительно простой.
Ненормальных ситуаций, в отношении данной, может быть несколько. Во-первых, возможно, что человек скажет "да очевидно же, что это должно легко доказываться из определения группы!", а собственно до того, чтоб доказать, ни разу в жизни и не снизойдет. Но возможно и нечто противоположное: школьник заявляет, вдруг, "а меня не удовлетворяет, как в учебнике "Введение в алгебру" излагается понятие группы. Я считаю, там всё недостаточно строго. Вот, например, как доказывают единственность единицы..." и дальше начнет городить ерунду, якобы для строгости. Такие примеры я тут на форуме видел не раз. (Особо помню некоего
Kras, ну и не он один.) Возможно, он не пойдет на форум, а начнет чем-то таким заниматься у себя в голове. Вот это я и называю "пытаться сдуру доказывать очевидные вещи". Ключевое слово в этой фразе -- "сдуру". Просто у человека по недостатку образования какие-то неправильные преувеличенные представления о том, что такое математическая строгость.
(Замечание в скобках. На самом деле, во "Введении в алгебру" есть некоторое количество мест, которые более аккуратно
(по сравнению с тем, как они там изложены) продумать самому не мешает. Но единственность единицы к ним не относится.)
-- 15.04.2017, 06:51 --Про задачи в книгах. Про них надо знать следующее. Во-первых, задача --- это нечто специально написанное автором, чтоб читатель потренировал мышление, поэтому хватайтесь за нее скорее. Во-вторых, задача ----- это всего лишь часть текста, но с двумя особенностями: (а) они не снабжены доказательствами (на то и задачи), и (б) они сравнительно слабо связаны с основным текстом, и потому, если задачу пропустить, это слабо повлияет на понимание остального (как правило). Во-третьих, задачи бывают по своим целям весьма разные.
Как задачи делятся, приблизительно, по целям?
(1) Задачи для самоконтроля, (как правило, маленькие упражнения);
(2) Тренировочные задачи, которые делятся на
(2а) алгоритмизированные задачи, для тренировки вычислительных навыков (большая часть задач в школе и вузе), и
(2б) понятийно-тренировочные (наиболее обычны в учебниках, например во "Введении в алгебру" Кострикина, и в аспирантских учебниках тоже);
(3) задачи, фактически являющиеся частью основного текста. Это могут быть небольшие побочные утверждения, вынесенные в упражнения; могут быть существенные части основного текста, которые автор переложил на читателя, иногда по собственной лени; или же, специальный случай --- когда книга представляет из себя "курс в задачах";
(4) информирующие задачи, содержащие в себе дополнительные сведения. Например, это может быть нетривиальный результат из чьей-то работы, часто с упоминанием автора, представленный как задача или серия задач.
(5) наконец, еще один случай, не знаю как его правильнее описать. Конкретный пример. В книге
Боревич, Шафаревич,
"Теория чисел" первая глава посвящена сравнениям и
-адическим числам. Особенно рассматривается представление чисел квадратичными формами. Так вот, на протяжении главы излагается теория, с многочисленными задачами понятийно-тренировочными (по классификации выше). А в последнем параграфе в задачах есть ряд задач очень конкретных, например "Какие рациональные числа представляются в виде
, где
--- рациональные числа?" Чтобы ее решить, нужно изучить теорию, излагаемую в главе; а с другой стороны, если эти задачи опустить, то непонятно, зачем вся теория строилась? Т.е. тут теория дает средства, а задачи --- цели, мотив. Теоретическая и задачная часть главы подходят друг к другу, как ключ к замку. И вместе с тем, чтоб эту задачу решить, надо заново у себя в голове перетряхнуть и обдумать всё изученное в главе ранее, после чего оно там оседает прочно. Упомянутая задача (точнее, серия задач) как бы завершает главу, как замковый камень арку. Тот же принцип применяется и в других главах. В этом смысле, упомянутая книга совершенно замечательна. (Правда, надо оговориться, что это не только заслуга авторов; такой способ изложения возможен в том числе потому, что излагаются вещи классические).
Разумеется, конкретная задача может сочетать в себе разные цели.
Думаю, использование приведенной классификации полезно, чтоб решить про задачу, что с ней делать: решать, пропустить, или отложить. В конкретных случаях следует, что называется, решать по обстоятельствам.
