факторизация плоскости

[bayak]

Пусть все центрально-симметричные прямые плоскости факторизованы ($\mathbf{R}\to\mathbf{R}/2\mathbb{Z}$), тогда мы получаем пространство, в котором все центрально-симметричные прямые превращаются в окружности, а само оно гомеоморфно тору. Как можно представить (визуализировать) это пространство, и что получится если плоскость заменить пространством $n$ измерений?

[Someone]

Я не понимаю, что такое "центрально симметричные прямые", и что Вы понимаете под факторизацией.
Чтобы говорить о факторизации, Вы должны либо задать отношение эквивалентности, с помощью которого определяется разбиение плоскости, либо задать сразу разбиение плоскости.

[bayak]

Под ц.-с.п. я понимаю прямые, проходящие через центр симметрии плоскости, т.е. через произвольную её точку, а под факторизацией понимается намотка их на окружность с помощью того отображения накрытия, которое было приведено.

[Someone]

bayak в сообщении #1209362 писал(а):

Под ц.-с.п. я понимаю прямые, проходящие через центр симметрии плоскости, т.е. через произвольную её точку

То есть, название вполне бессмысленное, если иметь в виду, что любая прямая на плоскости или в $n$-мерном евклидовом пространстве центрально симметрична относительно любой своей точки. Если Вы имеете в виду совокупность всех прямых, проходящих через заданную точку плоскости, то так и надо сказать.

bayak в сообщении #1209362 писал(а):

а под факторизацией понимается намотка их на окружность с помощью того отображения накрытия, которое было приведено.

Извините, но запись $\mathbb R/2\mathbb Z$ предполагает какую-то алгебраическую структуру, которую, видимо, ещё надо определить.

Кроме того, Вы ведь имеете в виду факторизацию плоскости, а не факторизацию прямой, поэтому и говорить надо о плоскости, а не о прямой. То есть, конкретно указать разбиение плоскости, по которому проводится факторизация.

Включив телепатические способности, я могу неуверенно предположить, что в результате получится поверхность бублика с нулевым внутренним радиусом, то есть, без "дырки". Точно это можно будет узнать только после того, как Вы точно опишете разбиение плоскости.

[bayak]

Someone в сообщении #1209369 писал(а):

Если Вы имеете в виду совокупность всех прямых, проходящих через заданную точку плоскости, то так и надо сказать.

Вроде бы вначале так и говорил - все прямые.

Someone в сообщении #1209369 писал(а):

Кроме того, Вы ведь имеете в виду факторизацию плоскости, а не факторизацию прямой, поэтому и говорить надо о плоскости, а не о прямой. То есть, конкретно указать разбиение плоскости, по которому проводится факторизация.

Разве факторизация прямой не приведёт к факторизации плоскости. Что касается алгебраической структуры на прямой, то думаю, что на всякой прямой евклидовой плоскости не так уж и трудно найти группу по сложению.

-- Пт апр 14, 2017 13:35:31 --

Someone в сообщении #1209369 писал(а):

Включив телепатические способности, я могу неуверенно предположить, что в результате получится поверхность бублика с нулевым внутренним радиусом, то есть, без "дырки".

А поточнее описать не можете? Что такое нулевой радиус?

[grizzly]

bayak в сообщении #1209375 писал(а):

Что такое нулевой радиус?

Так понятнее?

[Someone]

bayak в сообщении #1209375 писал(а):

Вроде бы вначале так и говорил - все прямые.

Нет, Вы так не говорили. Перечитайте своё первое сообщение.
Кроме того, то, что Вы написали сейчас — это совсем не то, что написал я. Поэтому ваше "так и говорил" уже попало в юмористический раздел.

bayak в сообщении #1209375 писал(а):

Разве факторизация прямой не приведёт к факторизации плоскости.

Если прямая одна, или речь идёт о множестве попарно не пересекающихся прямых, то особых проблем нет. Но когда прямые пересекаются, строить на них разбиения независимо нельзя, они должны объединяться в одно разбиение плоскости.

bayak в сообщении #1209375 писал(а):

Что касается алгебраической структуры на прямой, то думаю, что на всякой прямой евклидовой плоскости не так уж и трудно найти группу по сложению.

Да. И можно найти даже чудовищно большое количество групп по сложению. Какую из них имеете в виду Вы, без телепатических способностей определить невозможно.
Кроме того, создаёт проблемы точка пересечения. Например, как должны быть согласованы разбиения на двух лучах прямой, на которые эта прямая разбита точкой пересечения?

bayak в сообщении #1209375 писал(а):

А поточнее описать не можете? Что такое нулевой радиус?

Окружность нулевого радиуса — это просто одна точка, совпадающая с центром. Ну, положите $R=0$ в уравнении окружности $(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=R^2$.

Вспомните, что обычно тор (поверхность "бублика") образуют вращением окружности вокруг прямой, лежащей в той же плоскости и не пересекающей окружность. Возьмите предельный случай, когда прямая касается окружности.
Но ещё раз повторю: я совершенно не уверен, что Вы имели в виду именно это. Ваши пожелания настолько невнятны, что понять достоверно ничего нельзя.

[alcoholist]

bayak
Вероятно, вы имеете ввиду одну из следующих конструкций.
1) Пусть группа обратимых вещественных чисел $\mathbb{R}^*=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ действует на проколотой плоскости $\mathbb{R}^2\setminus\{O\}$ как $\Pi_\lambda(\mathbf{r})=\lambda\mathbf{r}$. Заметим, что прямые, проходящие через выколотую точку, инвариантны относительно этого действия. В этом случае $\mathbb{R}^2\setminus\{O\}/\mathbb{R}^*\simeq S^1$. Собственно, это множество всех прямых, проходящих через начало координат, с угловой метрикой.
2) Пусть группа целых чисел по сложению действует на проколотой плоскости $\mathbb{R}^2\setminus\{O\}$ как $\Pi_n(\mathbf{r})=2^n\mathbf{r}$. Заметим, что прямые, проходящие через выколотую точку, инвариантны относительно этого действия. В этом случае $\mathbb{R}^2\setminus\{O\}/\mathbb{Z}\simeq S^1\times S^1$.
2') Если добавить еще действие $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ как $\Pi_{(\epsilon,n)}(\mathbf{r})=\epsilon2^n\mathbf{r}$, то $\Bigl(\mathbb{R}^2\setminus\{O\}\Bigr)/\Bigl(\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\Bigr)$ -- бутылка Кляйна.

[bayak]

grizzly в сообщении #1209379 писал(а):

Так понятнее?

Да, но что это даёт. Где те окружности, в которые трансформировались прямые евклидовой плоскости?

Someone в сообщении #1209392 писал(а):

Да. И можно найти даже чудовищно большое количество групп по сложению. Какую из них имеете в виду Вы, без телепатических способностей определить невозможно.
Кроме того, создаёт проблемы точка пересечения. Например, как должны быть согласованы разбиения на двух лучах прямой, на которые эта прямая разбита точкой пересечения?

Что Вы всё усложняете. Возьмите в качестве стандартной прямой одну из осей координат декартовой плоскости и простым поворотом получите необходимое количество копий, намотайте все эти прямые на окружности и в результате получится то, что я назвал факторизацией плоскости. Может быть это неудачное название хороший кандидат в юмористический раздел, но это именно то что мне необходимо.

alcoholist
Спасибо за конструкцию, но пока она мне не потребна. А не просветите ли Вы меня в одном вопросе - является ли ориентируемой поверхностью произведение проективной плоскости на окружность?

[alcoholist]

bayak в сообщении #1209575 писал(а):

не просветите ли Вы меня в одном вопросе - является ли ориентируемой поверхностью произведение проективной плоскости на окружность?

не является

-- Сб апр 15, 2017 08:35:34 --

Можно ли приведенное отображение

bayak в сообщении #1209332 писал(а):

$\mathbf{R}\to\mathbf{R}/2\mathbb{Z}$

задать как $x\mapsto e^{\pi i x}$? Ведь $f(x)=f(x+2n)$...

[bayak]

alcoholist в сообщении #1209580 писал(а):

Можно ли

именно так и нужно.

alcoholist в сообщении #1209580 писал(а):

не является

хорошо, а не кажется ли Вам странным, что проективные пространства (начиная с плоскости) неориентируемы, а проективная прямая ориентируема?

[bayak]

Someone в сообщении #1209392 писал(а):

Вспомните, что обычно тор (поверхность "бублика") образуют вращением окружности вокруг прямой, лежащей в той же плоскости и не пересекающей окружность. Возьмите предельный случай, когда прямая касается окружности.
Но ещё раз повторю: я совершенно не уверен, что Вы имели в виду именно это. Ваши пожелания настолько невнятны, что понять достоверно ничего нельзя.

Меня интересует тот предельный случай, когда внешний радиус тора равен его внутреннему радиусу и ещё случай произвольного числа измерений.

[kp9r4d]

bayak в сообщении #1209614 писал(а):

хорошо, а не кажется ли Вам странным, что проективные пространства (начиная с плоскости) неориентируемы, а проективная прямая ориентируема?

Ориентируемы все $\mathbb{R}P^n$ для любого нечётного $n$.

[Someone]

bayak в сообщении #1209614 писал(а):

именно так и нужно

Вы хорошо подумали? Ну-ну.

bayak в сообщении #1209636 писал(а):

Меня интересует тот предельный случай, когда внешний радиус тора равен его внутреннему радиусу

То есть, тор вырождается в окружность?

bayak в сообщении #1209636 писал(а):

ещё случай произвольного числа измерений.

Вы сначала с двумерным случаем разберитесь.

Уже наблюдается $4$ (четыре) версии того, что Вы хотите. Может быть, Вы всё-таки займётесь уточнением своего вопроса?

[bayak]

Someone в сообщении #1209713 писал(а):

То есть, тор вырождается в окружность?

Нет, в сферу с выколотыми полюсами. Надо не уменьшать радиус одной из задающих окружностей тора, а увеличивать до тех пор пока они не сравняются. В итоге получается тор натянутый на сферу.