Оду третьего порядка

[TelmanStud]

Доброго времени суток!
Просьба помочь в поисках какого-либо нетривиального решения следующего д.у.
$f'''+a f'+b f^2=0$

[Metford]

А если попробовать сделать стандартную замену $f'=p(f)$? Получится уравнение второго порядка. К нему метод вариации произвольной постоянной не применится? Отбросить в нём слагаемое с функцией $f$ - уравнение решится - и проварьировать константы.

[Red_Herring]

Metford в сообщении #1209201 писал(а):

К нему метод вариации произвольной постоянной не применится?

Нет

[TelmanStud]

Metford
Конечно, стандартная замена $f'=p(f)$ приводит к оду 2-го порядка, но там дальше туман!

[bot]

(Оффтоп)

Не в роте, а во рту Не третьего, а третьему порядку оду посвятим.

[TelmanStud]

Вот
$p(\xi )^2 p''(\xi )+p(\xi ) p'(\xi )^2+a p(\xi )+b \xi ^2=0$

Для "однородного"
$p(\xi ) p''(\xi )+ p'(\xi )^2+ a=0$ общее решение

$p(\xi)=\pm\sqrt{a \left(c_1-\left(c_2+\xi \right){}^2\right)}$

[Ms-dos4]

TelmanStud
Это не пройдёт, вы не можете отбрасывать части уравнения в нелинейном уравнении.
В любом случае, если задача не учебная, то возможно и нет аналитического решения. Попробуйте глянуть в справочнике Зайцева и Полянина по ОДУ.

[TelmanStud]

Ms-dos4 в сообщении #1209256 писал(а):

TelmanStud
В любом случае, если задача не учебная, то возможно и нет аналитического решения. Попробуйте глянуть в справочнике Зайцева и Полянина по ОДУ.

Задача не учебная. Смотрел на сайте EqWorld, не нашел.

[DeBill]

TelmanStud
Нехорошее уравненние. Скорее всего, явно найти ничего не удастся.
Есть два частных решения:
$f= \frac{60}{bx^3} +...$ при $x\to 0$
$f=-\frac{a}{bx} + ...$ при $x \to \infty$
(ряды по целым степеням, коэф-ты определяются рекуррентно, но явно тоже не выписываются. Главные члены асимптотики получены "по Брюно", - рассмотрением "укорочения". Там , правда, можно еще одно укорочение посмотреть - отбрасывая $bf^2$....)

[Vince Diesel]

Стоит посмотреть справочники Зайцева, Полянина. Может, там больше, чем на сайте. Мейпл для $a=0$ что-то выдает, но там неявное задание. Вроде у меня получилось оттуда частные решения для обратной функции:

$$ x(u)=3 \text{Ei}\left(-\sqrt[3]{\log (u)}\right),$$

$$x(u)=\frac{3}{4} \left(\sqrt{2 \pi } \text{erf}\left(\sqrt[6]{\log (u)}\right)-2 \sqrt{2} e^{-\sqrt[3]{\log (u)}} \sqrt[6]{\log (u)}\right)$$

но не проверял.

[Brukvalub]

Vince Diesel в сообщении #1209287 писал(а):

Мейпл для $a=0$ что-то выдает, но там неявное задание. Вроде у меня получилось оттуда частные решения для обратной функции:

Это почти то же самое, что просто сказать: Вот при этих начальных данных по теореме существования и единственности есть нетривиальное решение...

[TelmanStud]

DeBill в сообщении #1209286 писал(а):

TelmanStud
Нехорошее уравненние. Скорее всего, явно найти ничего не удастся.

А выглядит симпатично!

-- 14.04.2017, 14:35 --

Всем спасибо!
У меня только за ночь получилось свести заменой $p(\xi)^2=u(\xi)$ к
$u''+bu^{-\frac{1}{2}}\xi^2+a=0$

[пианист]

TelmanStud
Глянул точечные симметрии.
В общем случае коэффициентов только сдвиг $\frac{\partial}{\partial x}$, радикально лучше при $b=0$, что понятно, а при $a=0$ к сдвигу добавляется растяжение $x\frac{\partial}{\partial x} - 3y\frac{\partial}{\partial y}$, так что на два порядка должно снижаться.

[TelmanStud]

пианист
Спасибо! Кажись всё совсем плохо.

[пианист]

Еще не совсем.
Я бы еще глянул симметрии вида $\Phi (x,y,y') \frac{\partial}{\partial y}$.
Во всяком случае, на первый взгляд неочевидно. что таких (нетривиальных) симметрий нет.