Задача про Сферическое зеркало

[guitar15]

Если я не ошибаюсь, то уравнение лучей выглядеть:
SB - $y=\mu x$;
MB - $y=\lambda x+R\lambda$
MA - $y=-\lambda x-R\lambda$
тогда справедливо $(-R, 0)$

-- 12.04.2017, 18:26 --

если я не ошибаюсь
SB - $y=\mu x$;
MB - $y=\lambda x+R\lambda$
MA - $y=-\lambda x-R\lambda$
тогда справедливо $(-R:0)$

[svv]

Да. Иначе, $y=\lambda(x+R)$ и $y=-\lambda(x+R)$.

[guitar15]

$$AO=\frac{R\lambda}{\mu+\lambda}\sqrt{1+\mu^2}$$

$$OB=\frac{R\lambda}{\mu-\lambda}\sqrt{1+\mu^2}$$

$$u=SA =R-\frac{R\lambda}{\mu+\lambda}\sqrt{1+\mu^2}$$

$$v=SB=R+\frac{R\lambda}{\mu-\lambda}\sqrt{1+\mu^2}$$

$$\mu=\frac{R\lambda(v-u)\sqrt{1+\mu^2}}{2(R-u)(v-R)}$$

[svv]

С выражениями для $u$ и $v$ согласен.
К последней формуле претензия идейная. Вы недоисключили $\lambda$, оно осталось в числителе.
Приведите формулу для $u$ к виду $\frac{1}{R-u}=\ldots$, а формулу для $v$ к виду $\frac{1}{v-R}=\ldots$ и посмотрите сами, что там надо, сложить их или вычесть, но $\lambda$ надо исключить полностью.

[guitar15]

У меня получилось:

$$\frac{1}{v-R}-\frac{1}{R-u}=-\frac{2}{R\sqrt{1+\mu^2}}$$

[svv]

Да. Можно ещё для красоты слева поменять местами уменьшаемое и вычитаемое, тогда справа исчезнет минус:
$\frac{1}{R-u}-\frac{1}{v-R}=\frac{2}{R\sqrt{1+\mu^2}}$
Теперь надо избавиться от $\mu$. Попробуйте связать его с $h$ (расстояние от $M$ до оптической оси). Тут немного тригонометрии. Подсказка: $\mu$ — это тангенс угла $MOS$, а $h$ выражается через его синус.

[guitar15]

В нашем случае $h=R\sin{x}$.
По формуле:

$$\frac{1}{\tg^2{x}}+1=\frac{1}{\sin^2{x}}$$

$$\mu^2=\frac{R^2}{R^2-h^2}$$

[svv]

А чему равно $\frac 1{\sqrt{1+\mu^2}}$ ?

[guitar15]

$\frac{R}{\sqrt{2R^2-h^2}}$

[svv]

Нет, что-то не то... Причём ошибок больше одной.
Я бы так делал. Нам не нужно $\mu$, нам нужно сразу

$$\frac 1 {\sqrt{1+\mu^2}}=\frac 1 {\sqrt{1+\tg^2\alpha}}=\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=...$$

(нехорошо обозначать угол так же, как декартову координату)

[guitar15]

$\sqrt{1-\frac{h^2}{R^2}}$

[svv]

Подставьте в формулу, связывающую $u$ и $v$.

[guitar15]

$\frac{1}{R-u}-\frac{1}{v-R}=\frac{2}{R}\sqrt{1-\frac{h^2}{R^2}}$

[svv]

Подведу итоги. Получили зависимость между $u$ и $v$ в неявном виде.

Закон «угол падения равен углу отражения» в этой формуле учтён. Ведь она выведена из требования:
Если перпендикуляр к зеркалу в точке отражения — ось абсцисс, угловые коэффициенты падающего и отражённого лучей отличаются лишь знаком.
Все вспомогательные переменные свою роль сыграли, но теперь они уже исключены.

Знаете, что делать дальше?

[guitar15]

Далее, наверное, нужно обе части равенства возвести в квадрат, или разложить корень в ряд. Я прав?