(Оффтоп)
Изначально был определен интеграл в смысле Римана. Такой интеграл можно назвать интегралом в его естественном, разумном, собственном смысле.
По поводу "естественности". Позволю себе изложить свои личные впечатления.
Когда я впервые познакомился с понятием интеграла Римана - это было в 10-м классе советской школы, - мне, напротив, оно показалось
не вполне естественным. (В школе, разумеется, говорили не "интеграл Римана", а просто "интеграл", и я ещё понятия не имел о том, что бывают и другие интегралы). Так вот, мне казалось, что правильнее разбивать на частичные отрезки не диапазон значений абсцисс, а диапазон значений ординат. Потребовались некоторые усилия, чтобы понять, что ключевое значение здесь имеет непрерывность функции, - а других функций я просто не знал и не уверен, что само понятие непрерывности в точном смысле мне было тогда известно. В общем, когда я слегка прочувствовал значение непрерывности и сообразил, что разбивать на частичные отрезки именно ось абсцисс, а не ось ординат технически гораздо удобнее, тогда и "смирился" с "не вполне естественным", как мне казалось, интегралом Римана. Ну, а позднее, когда познакомился с интегралом Лебега, эта тема для меня закрылась окончательно.
