Определение одночлена

[Padawan]

Разве $1/x$ - одночлен ? Одночлен - это выражение, которое можно получить из чисел и букв, применяя операцию умножения несколько раз. Я за второе определение. А первое вообще не понял.

[Effectx01]

Brukvalub в сообщении #1201237 писал(а):

Effectx01, а в каком классе вы сейчас учитесь?

6

[Effectx01]

Ребят, если в учебниках, в справочнике по элементарной алгебре и на википедии такие плохие (некорректные) определения одночлена даются и вас ни один не устроил, то будьте добры, напишите ваш вариант более корректный, я вам буду очень признателен.

[mihaild]

Определение "произведение неотрицательных степеней букв и чисел" (хотя лучше "переменных" вместо "букв"), на мой взгляд, вполне сойдет для школы.
При этом помнить, что произведение может состоять и из одного сомножителя (и даже из нуля - пустое произведение очень удобно считать равным единице).

И учитывать, что "одночлен" - это характеристика "способа записи", а не "значения". Например, $2 + 2 = 4$, но $4$ является одночленом, а $2 + 2$ - нет.

[Effectx01]

mihaild, спасибо

[Sergei32]

Цитата:

"произведение неотрицательных степеней букв и чисел"

Доброе время суток! Я сейчас осваиваю тему одночленов/многочленов, тоже на школьном уровне, и меня мучает вопрос - почему одночлен не может включать в себя отрицательные степени? Может кто-нибудь сможет помочь это понять?...

[Mikhail_K]

Sergei32 в сообщении #1208263 писал(а):

и меня мучает вопрос - почему одночлен не может включать в себя отрицательные степени? Может кто-нибудь сможет помочь это понять?...

Ну, определение такое, и всё.
Чтобы не называть потом дробно-рациональные функции типа $x^2+x^{-2}$ многочленами.
Потому что их проще представлять в виде отношения настоящих многочленов: $x^2+x^{-2}=\frac{x^4+1}{x^2}$.

Вообще. Конечно, иногда интересно бывает понять, почему определение именно такое, а не другое, но мучить это не должно. Это не тот вопрос, на который можно найти однозначный ответ. Может, просто исторически так сложилось.

[Sergei32]

Mikhail_K в сообщении #1208304 писал(а):

Sergei32 в сообщении #1208263 писал(а):

и меня мучает вопрос - почему одночлен не может включать в себя отрицательные степени? Может кто-нибудь сможет помочь это понять?...

Ну, определение такое, и всё.
Чтобы не называть потом дробно-рациональные функции типа $x^2+x^{-2}$ многочленами.
Потому что их проще представлять в виде отношения настоящих многочленов: $x^2+x^{-2}=\frac{x^4+1}{x^2}$.

Вообще. Конечно, иногда интересно бывает понять, почему определение именно такое, а не другое, но мучить это не должно. Это не тот вопрос, на который можно найти однозначный ответ. Может, просто исторически так сложилось.

Хм, а я думал, что мне сейчас совсем какую-нибудь хитроумную формулу приведут какую-нибудь : ) ...Хотя эту дробно-рациональную функцию тоже не понимаю...
Интересно...исторически значит...

[Aritaborian]

Sergei32 в сообщении #1208369 писал(а):

Хотя эту дробно-рациональную функцию тоже не понимаю...

А что именно вам непонятно в этой дробно-рациональной функции?

[Munin]

Мне кажется, дело в контексте.

Есть такой математический объект - многочлен (полином). Это выражение типа $ab+7bc^3,$ и тому подобных. Он устроен так:
- сумма слагаемых (разность - вариант суммы);
- каждое слагаемое есть произведение числа и натуральных степеней каких-то букв;
- всё вместе конечно.
Эти многочлены играют огромную роль и как сами по себе интересные объекты, и как вспомогательные инструменты.

И вот чтобы говорить о многочленах, вводится вспомогательное понятие - одночлен (моном). Это одно типовое слагаемое многочлена. Это частный случай многочлена, когда в нём только одно слагаемое. И вот одночлены сами по себе мало интересны, но нужны для работы с многочленами. Поэтому определение одночлена такое, чтобы из них получались те самые многочлены.

Это не совсем исторический контекст, он и сейчас так работает.

[Xaositect]

Все просто на самом деле
Многочлены - это то, что можно получить из чисел и переменных с помощью сложения, вычитания и умножения.
Рациональные функции - это то, что можно получить из чисел и переменных с помощью сложения, вычитания, умножения и деления.
Одночлены - это то, что можно получить из чисел и переменных с помощью умножения.

В принципе, можно определить "рациональные одночлены", которые получаются умножением и делением. Но тут дело в том, что одночлены интересны в основном не сами по себе, а потому, что любой многочлен есть сумма одночленов. А для рациональных функций такого простого представления не получится.

[Sergei32]

Aritaborian в сообщении #1208383 писал(а):

Sergei32 в сообщении #1208369 писал(а):

Хотя эту дробно-рациональную функцию тоже не понимаю...

А что именно вам непонятно в этой дробно-рациональной функции?

Хотя-бы то, что я скорей всего не понимаю, что есть функция. В моем представлении - это некое правило преобразования некоего диапазона значений чего-либо. Да, под такое представление подходит вышеприведенное выражение, но таким-же макаром под него подойдет и выражение x+1. Значение x преобразуется - увеличивается на единицу. Тут, как мне кажется, все сложнее.

Munin в сообщении #1208386 писал(а):

- всё вместе конечно.

Как это понимать? Что все перечисленное существует в рамках некоего, теоретически счетного, диапазона значений?

Xaositect в сообщении #1208403 писал(а):

Все просто на самом деле
Многочлены - это то, что можно получить из чисел и переменных с помощью сложения, вычитания и умножения.
Рациональные функции - это то, что можно получить из чисел и переменных с помощью сложения, вычитания, умножения и деления.
Одночлены - это то, что можно получить из чисел и переменных с помощью умножения.

В принципе, можно определить "рациональные одночлены", которые получаются умножением и делением. Но тут дело в том, что одночлены интересны в основном не сами по себе, а потому, что любой многочлен есть сумма одночленов. А для рациональных функций такого простого представления не получится.

Хм, интересно. Это надо переварить.

[Aritaborian]

Sergei32 в сообщении #1208406 писал(а):

Тут, как мне кажется, все сложнее.

Можно счесть, что сложнее, да. Но намного ли сложнее, на самом-то деле? Вовсе нет. Ну возводим мы икс в четвёртую степень, ну прибавляем к нему единицу. Делим эту сумму на квадрат икса. Разве концептуально это сложнее, чем прибавить к иксу единицу? Ничуть.

-- 10.04.2017, 23:13 --

Sergei32 в сообщении #1208406 писал(а):

Как это понимать? Что все перечисленное существует в рамках некоего, теоретически счетного, диапазона значений?

Полагаю, уважаемый Munin имел в виду, что конечным является количество плюсов и минусов в записанном выражении.

[Munin]

Sergei32 в сообщении #1208406 писал(а):

Как это понимать? Что все перечисленное существует в рамках некоего, теоретически счетного, диапазона значений?

Нет, я просто имел в виду, что мы не складываем ни бесконечного множества слагаемых, ни перемножаем бесконечного множества множителей, ни возводим в бесконечную степень.

Формулировка Xaositect лучше (к тому же, она определение).

[Aritaborian]

На предлагаемые «рациональные одночлены» лучше забейте. Только каши в голове добавит.