Группа самосовмещения прямоугольника.

[timas-cs]

Для группы $G$ самосовмещения прямоугольника найти 1) Нормальную подгруппу второго порядка 2) Найти отображение $G$ в $S$-группу перестановок на множестве вершин прямоугольника.

Больше похоже на квадрат, но можно представить, что это только так кажется.

Сначала нужно построить таблицу Кэли. Таблица будет размером 8 на 8 (4 поворота и 4 симметрии). Дальше нужно найти левый и правый смежные классы? Не совсем понимаю как это сделать в данном случае.
Ps Попробую как-нибудь прикрепить свою таблицу. Она будет состоять из ${\varphi}_{0} {\varphi}_{1} {\varphi}_{2} {\varphi}_{3}$-вращение на $0; \frac{\pi }{2}; \pi; \frac{3\pi }{2}$ и ${\psi}_{1} {\psi}_{2} {\psi}_{3} {\psi}_{4}$-оси симметрии.

[VAL]

timas-cs,
не буду оригинален и вновь призову действовать наоборот.
А именно, сначала построить изоморфизм (просто отобразить - это странное условие) из пруппы самосовмещений в группу перестановок вершин. И обязательно записать элементы в цикловой форме. Таблица Кэли гораздо менее информативна.

Ой! Только сейчас заметил, что у Вас в условии не квадрат, а прямоугольник (на картинке похоже на квадрат). Откуда тогда 8 элементов а группе?!

[arseniiv]

$$\mathrm{F} \qquad {\rotatebox{180}{\mathrm{F}}} \qquad {\reflectbox{\mathrm{F}}} \qquad {\reflectbox{\rotatebox{180}{\mathrm{F}}}}$$

[Munin]

https://en.wikipedia.org/wiki/Klein_four-group

[timas-cs]

VAL в сообщении #1208265 писал(а):

Откуда тогда 8 элементов а группе?!

Поспешил. Получается, что их четыре? По две на вращение и симметрию.

VAL в сообщении #1208265 писал(а):

А именно, сначала построить изоморфизм (просто отобразить - это странное условие) из пруппы самосовмещений в группу перестановок вершин.

Ни разу этого не делал. Если возьмем $A=1, B=2, C=3, D=4$ Для вращения ${\varphi }_{0}=(1)(2)(3)(4),{\varphi }_{1}=(31)(24)$, для симметрии ${\psi }_{1}=(12)(34), {\psi }_{2}=(14)(23) $. Группа перестановок вершин тоже $(1)(2)(3)(4), (31)(24)$.

Как понял по ответу выше, отображение изоморфно четвертичной группе Клейна. Но пока не до конца разобрался.

-- 10.04.2017, 22:03 --

timas-cs в сообщении #1208310 писал(а):

Как понял по ответу выше, отображение изоморфно четвертичной группе Клейна. Но пока не до конца разобрался.

Составил таблицу Кэлли, понял.

-- 10.04.2017, 22:09 --

С помощью

VAL в сообщении #1208265 писал(а):

записать элементы в цикловой форме

и правда нагляднее.

[VAL]

timas-cs в сообщении #1208310 писал(а):

Если возьмем $A=1, B=2, C=3, D=4$ Для вращения ${\varphi }_{0}=(1)(2)(3)(4),{\varphi }_{1}=(31)(24)$, для симметрии ${\psi }_{1}=(12)(34), {\psi }_{2}=(14)(23)$.

Верно.
Пара замечаний:
одноэлементные циклы принято опускать (тождественную перестановку при этом можно обозначить, например, через $e$);
запись цикла обычно начинают с наименьшего числа.

Цитата:

Группа перестановок вершин тоже $(1)(2)(3)(4), (31)(24)$.

Как это?! А выше что было?
А это, как раз подгруппа порядка 2.
Кстати, требование ее нормальности выглядит странно. Группа порядка 4 всегда абелева. А в абелевой группе все подгруппы нормальны.

[arseniiv]

VAL в сообщении #1208332 писал(а):

(тождественную перестановку при этом можно обозначить, например, через $e$)

Или парой скобок $()$.

Ещё можно добавить, что

timas-cs в сообщении #1208310 писал(а):

По две на вращение и симметрию.

не совсем корректно, потому что различные подгруппы — вращений, отражений относительно того и сего, прочие — могут иметь общие нетривиальные подгруппы, а так же всегда имеют тривиальную. Так что нейтральный элемент группы нет оснований звать только лишь вращением, или только лишь отражением или какой-то неопределённой «симметрией» — он входит везде. Поворот на 180° всегда тоже не только поворот, но и центральная симметрия, которую можно получить двумя отражениями. (И вообще любой поворот плоскости можно получить двумя отражениями относительно прямых.)

-- Пн апр 10, 2017 23:33:34 --

VAL в сообщении #1208332 писал(а):

Кстати, требование ее нормальности выглядит странно. Группа порядка 4 всегда абелева. А в абелевой группе все подгруппы нормальны.

Может быть, это задание — вариант более общего, и некоторые из вариантов чуть сложнее?

[timas-cs]

VAL

VAL в сообщении #1208332 писал(а):

А это, как раз подгруппа порядка 2.

Не совсем понимаю, почему именно она. Как вы ее нашли?

[VAL]

timas-cs в сообщении #1208351 писал(а):

VAL

VAL в сообщении #1208332 писал(а):

А это, как раз подгруппа порядка 2.

Не совсем понимаю, почему именно она. Как вы ее нашли?

Не только она.
В рассматриваемой группе 3 элемента порядка 2. Каждый из них образует на пару с нейтральным элементом подгруппу порядка 2.
Так что особо и искать нечего.