Бесконечно возрастающая геометрическая прогрессия

[Ktina]

а) Существует ли возрастающая геометрическая прогрессия у которой первые 2017 членов – не целые числа, следующие 2017 членов - целые числа, а остальные – не целые?

б) Существует ли возрастающая геометрическая прогрессия у которой первые 2017 членов – целые числа, следующие 2017 членов - не целые числа, а остальные – целые?

[arseniiv]

(a) $2017 = N+1$. Приходит в голову прогрессия вида

$$\ldots, m^{-1}n^{N+1}, m^0n^N, m^1n^{N-1}, \ldots, m^{N-1}n^1, m^Nn^0, m^{N+1}n^{-1}, \ldots,$$

при этом можно взять $m, n$ различными простыми натуральными, хотя должны быть ещё подходящие пары, но мне лень их описывать. В подходящих (и этом) случаях никакой моном $m^an^b$ с $ab<0$ не будет целым, так что можно найти сколь угодно длинные префикс и суффикс из нецелых членов прогрессии. Теперь, чтобы прогрессия возрастала, надо взять $m > n$.

Вроде ошибок нет. Раз я решил, задача неолимпиадная.

Насчёт (б) мерещится, что не существует, но бездоказательно.

[mihaild]

а) что-то типа $a_0 = \frac{3^{2\cdot 2017}}{2^{2017}}, q = \frac{2}{3}$. Сначала ждем $2017$ членов, пока не закончатся двойки в знаменателе, потом $2017$ членов у нас есть тройки, потом кончились
б) аналогично: знаменатель у нас, понятно, рационален, имеет вид $\frac{m}{n}$ (в сокращенном виде), причем $n$ делится на какое-то простое $p$, на которое $m$ не делится. Тогда, если в $a_0$ $p$ входит в степени $k$, то все члены, начиная с $k$-го, будут нецелыми.

Вообще кажется, что последовательности бывают только вида "сначала нецелые - потом целые - потом опять нецелые" (любая из частей может отсутствовать), но это придется расписывать чуть аккуратнее.

[arseniiv]

О, mihaild быстрее управился со второй. Но всё равно набранное оставлю.

Если в геом. прогрессии есть два идущих подряд целых члена, частное прогрессии — рациональное. Разложим его на простые множители. Каждый из, входящий в ненулевой степени, будет или положительным, и тогда где-то слева в прогрессии члены будут нецелыми, или отрицательным, и тогда где-то справа в прогрессии члены будут нецелыми, и всё из-за того, что в целое число простой множитель может входить лишь в конечной степени.

Точнее: у нас есть по арифметической прогрессии для степеней каждого простого, входящего в разложение члена интересующей рациональночисленной геометрической прогрессии. Каждая из них делится на две полубесконечные части: отрицательную и неотрицательную. Целы только те члены геометрической прогрессии, для которых члены всех соответствующих арифметических попадают в неотрицательный хвост. Пересечение конечного количества целочисленных лучей есть луч, отрезок или пустое множество. Ergo, прогрессия вида (б) невозможна.

-- Сб апр 08, 2017 19:02:02 --

mihaild в сообщении #1207582 писал(а):

Вообще кажется, что последовательности бывают только вида "сначала нецелые - потом целые - потом опять нецелые" (любая из частей может отсутствовать), но это придется расписывать чуть аккуратнее.

Сделано выше.

[slavav]

mihaild в сообщении #1207582 писал(а):

а) что-то типа $a_0 = \frac{3^{2\cdot 2017}}{2^2017}, q = \frac{2}{3}$.

2 и 3 надо поменять местами, чтобы последовательность росла (требование из условия).

[Shadow]

$aq^n=\dfrac{(aq)^n}{a^{n-1}}$

И если $a$ - целое, а $aq$ - рациональное нецелое, то.....