Продолжаю прорешивать задачи из книжки Давидовича и ко
http://www.mccme.ru/free-books/57/davidovich.pdf.
Этой темой начинаю 9 класс, здесь будут листки 11,12 (предел последовательности).
Прошу уважаемых форумчан проверить мои доказательства, как и в моих предыдущих темах.
Определение 1. Интервал
![$]a-\varepsilon,a+\varepsilon[$ $]a-\varepsilon,a+\varepsilon[$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/4/f/f/4ff08ad2e87749657d293b578fc5b1a982.png)
, где

, называется

-окрестностью точки (числа)

и обозначается

.
Задача 1.
Доказать, что число

принадлежит

-окрестности точки

тогда и только тогда, когда

.
Доказательство.
Пусть

. По определению модуля, это означает

т.е.

.
Пусть теперь

, т.е.

Здесь
Объединяя неравенства

и

, получим

.
-- 06.04.2017, 07:57 --Для удобства продублирую тут определения.
Определение 2. Бесконечная последовательность действительных чисел -- это запись вида

, сопоставляемая отображению

по правилу

. Обозначение:

.
Определение 3. Число

называется пределом последовательности

, если

. Обозначения: (1)

; (2)

при

.
Определение 4. Говорят, что почти все члены последовательности

удовлетворяют некоторому условию, если существует лишь конечное число таких элементов

, что

не удовлетворяет этому условию.
Определение 5. Число

называется пределом последовательности

, если любая

-окрестность точки

содержит почти все члены этой последовательности.
-- 06.04.2017, 08:07 --Задача 2.
Докажите эквивалентность определений 3 и 5.
Доказательство.
Пусть

по определению 3, т.е.

(согласно задаче 1). Это значит, что начиная с некоторого индекса

, все члены

принадлежат

. Всего таких членов бесконечное число, т.к. множество

очевидно счетно. Таким образом, любая

-окрестность точки

содержит почти все члены последовательности

, т.е. выполнено определение 5.
Пусть теперь

по определению 5, т.е. любая

не содержит лишь конечное число последовательности

. Возьмем произвольное

и обозначим как

наибольший индекс элемента

, не принадлежащего

. Тогда

все элементы

, т.е. с учетом задачи 1 выполнено неравенство

-- это определение 3.
-- 06.04.2017, 08:09 --Задача 3.
Могут ли два разных числа быть пределами одной последовательности?
Ответ.
Предположим, что могут:

,

,

. Это означает (по определению 5), что любая

-окрестность

и

содержит почти все члены

. Возьмем положительный

, тогда

, и при этом 1) лишь конечное число членов

не принадлежит

, 2) лишь конечное число членов

не принадлежит

. Эти два утверждения не могут быть истинными одновременно для нашего

, следовательно наше предположение неверно, и два разных числа не могут быть пределами одной последовательности.
-- 06.04.2017, 08:09 --Задача 4.
Что означает, что число

не является пределом последовательности

?
Ответ.
Отрицание определения 3:

Отрицание определения 5:

(любая

-окрестность точки

содержит почти все члены этой последовательности)

существует

-окрестность точки

, которая содержит лишь конечное число членов этой последовательности.