2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Вычислить предел используя разложение по формуле Тейлора
Сообщение20.05.2008, 02:05 
Вычислить предел используя разложение по формуле Тейлора:

$$\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^3}{\frac{x^2}{2}+\sin x+\ln(1-x)}$$

У меня абсолютно нет никакой информации по тому как вычислять пределы используя разложение по формуле Тейлора. Не могли бы вы мне помочь, так подсказать или может ссылки какие привести. Буду премного благодарен.

 
 
 
 
Сообщение20.05.2008, 02:18 
ну стандартные-то формулы Тейлора для синуса и для логарифма у всех есть, пусть на шпаргалке. Смело подставляйте в знаменатель эти разложения до третьих степеней включительно -- и будет счастье.

 
 
 
 
Сообщение20.05.2008, 02:52 
А вот у меня по видимому нет, даже в учебнике. Не могли бы скинуть информацию по теме?..

 
 
 
 
Сообщение20.05.2008, 02:59 
rar писал(а):
А вот у меня по видимому нет, даже в учебнике. Не могли бы скинуть информацию по теме?..

$$\sin(x)\sim x-{x^3\over3!}+{x^5\over5!}-{x^7\over7!}+{x^9\over9!}-\ ...$$

$$\ln(1+x)\sim x-{x^2\over2}+{x^3\over3}-{x^4\over4}+{x^5\over5}-\ ...$$

 
 
 
 
Сообщение20.05.2008, 10:56 
Ну хоть на пальцах обьяснтите что теперь надо сделать.

 
 
 
 
Сообщение20.05.2008, 11:04 
Аватара пользователя
Да тут уж все пальцы использовали и фактически решение выложили. Разве что ответ написать осталось.

 
 
 
 
Сообщение20.05.2008, 11:09 
ewert писал(а):
$$\sin(x)\sim x-{x^3\over3!}+{x^5\over5!}-{x^7\over7!}+{x^9\over9!}-\ ...$$
Ну, если Вас смущают восклицательные знаки в формулах, то, например, $3!$ означает $1\cdot 2\cdot 3=6$, а $9!$ --- $1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5\cdot6\cdot7\cdot8\cdot9=362880$. Вопросительные знаки пока в формулы, слава богу, не впаривают.

 
 
 
 
Сообщение20.05.2008, 11:24 
Аватара пользователя
Разве что аналогичный пример показать.

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{\cos 2x - e^{-2x^2}}{x^4}$

Используя разложения $\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4!} + o(x^4)$ и $e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + o(x^2)$

получаем $\cos 2x = 1 - 2x^2 + \frac{2x^4}{3} + o(x^4)$ и $e^{-2x^2}= 1 - 2x^2 + 2x^4 + o(x^4)$

Подставляем в предел:

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{1 - 2x^2 + \frac{2x^4}{3} -1 + 2x^2 - 2x^4 +o(x^4)}{x^4}=\lim\limits_{x\to 0}(\frac{2}{3}-2+\frac{o(x^4)}{x^4})=-\frac{4}{3}$

 
 
 
 
Сообщение20.05.2008, 13:47 
Вот теперь, я дума, верно.

$\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^3}{\frac{x^2}{2}+\sin x+\ln(1-x)}$ = $\left|\begin{array}{l}\sin x$ = $x-\frac{x^3}{\over3!}+o(x^3)\\ \ln [1+(-x)]$ = $(-x)-\frac{(-x)^2}{2}+\frac{(-x)^3}{3}+o(x^3)\end{array}\right|$ =
= $\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^3}{\frac{x^2}{2}+x-\frac{x^3}{\over3!}-x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}+o(x^3)}$ = $\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^3}{o(x^3)-\frac{x^3}{2}}$ = $\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{\frac{o(x^3)}{x^3}-\frac{1}{2}}$ = $-2$

 
 
 
 
Сообщение20.05.2008, 13:49 
Аватара пользователя
Поделить числитель и знаменатель на \[
x^3 
\]

 
 
 
 
Сообщение20.05.2008, 14:03 
Вот так? Теперь правильно?
$\lim\limits_{x\to 0}\frac{x^3}{o(x^3)-\frac{x^3}{3}}$ = $\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{\frac{o(x^3)}{x^3}-\frac{1}{3}}$ = $-3$

 
 
 
 
Сообщение20.05.2008, 14:05 
Да

 
 
 
 
Сообщение20.05.2008, 14:10 
Спасибо.

 
 
 
 
Сообщение20.05.2008, 15:06 
ААА Ну зачем в логарифм-то факториалов напихали!!!

 
 
 
 
Сообщение20.05.2008, 15:09 
Пардон, сейчас исправлю. А слона-то я и не приметил...

 
 
 [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group