Здравствуйте. Столкнулся с проблемой при решении следующей задачи.
Изобразите параллелепипед

и постройте его сечение плоскостью

, где точка

— середина ребра

, а точка

— середина ребра

. Докажите, что построенное сечение — параллелограмм.
Сама задача несложная, если обращаться к наглядности рисунка. У меня сложности в том, чтобы обосновать очевидные из рисунка вещи. Привожу решение.

Плоскость сечения

пересекает грань

по отрезку

, грань

по отрезку

. Плоскости

и

параллельны, поэтому прямая

, по которой пересекаются

и плоскость

, параллельна прямой

,

проходит через точку

.
Точка

разбивает прямую

на два луча. Выберем тот луч

, который сонаправлен с лучом

.
Лучи

и

сонаправлены (как стороны параллелограмма), точка

лежит между

и

, след., лучи

и

сонаправлены.
Отсюда следует (по известной теореме), что

.
Из равенства параллелограммов

и

следует, что

.
Луч

лежит во внутренней области угла

, поэтому

.

— параллелограмм, след.,

, след.,

.
Прямая

делит плоскость

на две полуплоскости:

, в которой лежат рёбра

и

, и

.
Рассмотрим прямые

и

. Сумма внутренних односторонних углов при пересечении их секущей

в полуплоскости

меньше развернутого угла, след., прямые

и

пересекаются в этой полуплоскости. Обозначим через

точку пересечения прямой

с лучом

.
Из треугольника

находим, что


, след.

.
Треугольники

и

равны по второму признаку, след.,

, но

, след., точки

и

совпадают.
Дальше легко достроить сечение и доказать, что оно параллелограмм.
По-моему какое-то громоздкое решение получается. Может, есть какой-нибудь более простой способ? И правильно ли моё решение?