2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Атанасян. Стереометрия. Задача 85
Сообщение07.04.2017, 21:50 


25/11/16
36
Здравствуйте. Столкнулся с проблемой при решении следующей задачи.

Изобразите параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$ и постройте его сечение плоскостью $BKL$, где точка $K$ — середина ребра $AA_1$, а точка $L$ — середина ребра $CC_1$. Докажите, что построенное сечение — параллелограмм.

Сама задача несложная, если обращаться к наглядности рисунка. У меня сложности в том, чтобы обосновать очевидные из рисунка вещи. Привожу решение.

Изображение

Плоскость сечения $\sigma$ пересекает грань $ABB_1A_1$ по отрезку $KB$, грань $BCC_1B_1$ по отрезку $BL$. Плоскости $ABB_1$ и $DCC_1$ параллельны, поэтому прямая $l$, по которой пересекаются $\sigma$ и плоскость $DCC_1$, параллельна прямой $KB$, $l$ проходит через точку $L$.

Точка $L$ разбивает прямую $l$ на два луча. Выберем тот луч $[LL_1)$, который сонаправлен с лучом $[BK)$.
Лучи $[BB_1)$ и $[CC_1)$ сонаправлены (как стороны параллелограмма), точка $L$ лежит между $C$ и $C_1$, след., лучи $[BB_1)$ и $[LC_1)$ сонаправлены.
Отсюда следует (по известной теореме), что $\angle KBB_1 = \angle L_1LC_1$.

Из равенства параллелограммов $ABB_1A_1$ и $DCC_1D_1$ следует, что $\angle A_1AB = \angle D_1C_1C$.
Луч $[BK)$ лежит во внутренней области угла $ABB_1$, поэтому $\angle KBB_1 < \angle ABB_1$.
$ABB_1A_1$ — параллелограмм, след., $\angle A_1AB + \angle ABB_1 = 180 ^\circ$, след., $\angle A_1AB + \angle KBB_1 = \angle D_1C_1C + \angle L_1LC_1 < 180^\circ$.
Прямая $CC_1$ делит плоскость $DCC_1$ на две полуплоскости: $\alpha_1$, в которой лежат рёбра $C_1D_1$ и $CD$, и $\alpha_2$.
Рассмотрим прямые $LL_1$ и $C_1D_1$. Сумма внутренних односторонних углов при пересечении их секущей $CC_1$ в полуплоскости $\alpha_1$ меньше развернутого угла, след., прямые $LL_1$ и $C_1D_1$ пересекаются в этой полуплоскости. Обозначим через $M$ точку пересечения прямой $LL_1$ с лучом $C_1D_1$.

Из треугольника $AKB$ находим, что
$$\angle AKB = (180^\circ - \angle A_1AB) - \angle KBA =\angle ABB_1 - \angle KBA =\angle KBB_1=\angle L_1LC_1 = \angle MLC_1$$
$AA_1 = CC_1$, след. $KA = LC_1$.
Треугольники $KAB$ и $LC_1M$ равны по второму признаку, след., $C_1M = AB$, но $C_1D_1 = AB$, след., точки $M$ и $D_1$ совпадают.

Дальше легко достроить сечение и доказать, что оно параллелограмм.

По-моему какое-то громоздкое решение получается. Может, есть какой-нибудь более простой способ? И правильно ли моё решение?

 Профиль  
                  
 
 Re: Атанасян. Стереометрия. Задача 85
Сообщение07.04.2017, 22:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Жесть... Сразу соединяем $D_1$ с $L$, получаем параллельные прямые $D_1L$ и $KB$, из аксиомы параллельных $D_1L$ является линией сечения, дальше - ясно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Атанасян. Стереометрия. Задача 85
Сообщение07.04.2017, 22:19 


25/11/16
36
Brukvalub в сообщении #1207428 писал(а):
Жесть... Сразу соединяем $D_1$ с $L$, получаем параллельные прямые $D_1L$ и $KB$


Если их сразу соединить, то надо сначала доказать, что точки $K, B, L, D_1$ лежат в одной плоскости. Разве не так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Атанасян. Стереометрия. Задача 85
Сообщение07.04.2017, 22:27 
Заслуженный участник


10/01/16
2315
Pennywise
Ну, можно провести вспомогательное сечение через $KBC$...

 Профиль  
                  
 
 Re: Атанасян. Стереометрия. Задача 85
Сообщение07.04.2017, 22:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Pennywise в сообщении #1207431 писал(а):
Если их сразу соединить, то надо сначала доказать, что точки $K, B, L, D_1$ лежат в одной плоскости. Разве не так?

Brukvalub в сообщении #1207428 писал(а):
получаем параллельные прямые $D_1L$ и $KB$
которые обязательно лежат в одной плоскости. :D

 Профиль  
                  
 
 Re: Атанасян. Стереометрия. Задача 85
Сообщение07.04.2017, 22:38 


25/11/16
36
Brukvalub, я понимаю, что параллельные прямые лежат в одной плоскости. Я думал, что вы имели в виду, что параллельность прямых $KB$ и $D_1L$ следует из параллелограмма $KBLD_1$. Но ведь сначала надо доказать, что он параллелограмм, а не тетраэдр. Я, к сожалению, не понимаю, откуда ещё может сразу следовать параллельность этих прямых.

 Профиль  
                  
 
 Re: Атанасян. Стереометрия. Задача 85
Сообщение07.04.2017, 22:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Pennywise в сообщении #1207444 писал(а):
откуда ещё может сразу следовать параллельность этих прямых.

Это следует из "середин" Соедините середину $DD_1$ с $C$ и мгновенно докажете параллельность по транзитивности.

 Профиль  
                  
 
 Re: Атанасян. Стереометрия. Задача 85
Сообщение07.04.2017, 22:53 


25/11/16
36
Brukvalub, точно. Большое спасибо. Обидно даже, что сразу до этого не дошёл, как зациклился на доказательстве через равенство каких-нибудь треугольников, так и не смог остановиться.

 Профиль  
                  
 
 Re: Атанасян. Стереометрия. Задача 85
Сообщение11.04.2017, 02:35 


25/11/16
36
Извиняюсь за поднятие темы, но появился такой вопрос. Вот если бы на ЕГЭ была такая задача, и экзаменуемый привёл бы решение, которое у меня в начальном сообщении, то это повлияло бы на оценку задания? Оно ведь верное, хотя и дурацкое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Атанасян. Стереометрия. Задача 85
Сообщение11.04.2017, 02:48 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
72407
Если решение верное, то задача зачитывается. Разве не так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Атанасян. Стереометрия. Задача 85
Сообщение11.04.2017, 08:06 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Pennywise в сообщении #1208495 писал(а):
это повлияло бы на оценку задания?

Разумеется, не повлияло бы.

 Профиль  
                  
 
 Re: Атанасян. Стереометрия. Задача 85
Сообщение11.04.2017, 13:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12044
Казань
На оценку не повлияло бы... Но если вы верите в силу мысли, лучше такое не пишите: эксперт будет думать о вас очень, очень плохо :roll: И вдруг его мысль материальна?

 Профиль  
                  
 
 Re: Атанасян. Стереометрия. Задача 85
Сообщение11.04.2017, 17:29 


25/11/16
36
Munin в сообщении #1208500 писал(а):
Если решение верное, то задача зачитывается. Разве не так?


Я умом-то понимаю, но иррациональные переживания очень сложно отменить.

Brukvalub, provincialka, понятно, спасибо.

 Профиль  
                  
 
 Re: Атанасян. Стереометрия. Задача 85
Сообщение11.04.2017, 18:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


01/03/06
13626
Москва
Pennywise, на ЕГЭ такая задача идет под номером 14. Задачи, начиная с 13-й, проверяются вручную экспертами и могут быть проапеллированы. В критериях оценки этой задачи нет категории "нерациональное решение". Так что бояться нечего. Если эксперт вынес ошибочное суждение, снизив оценку за верное решение, с ним можно и нужно спорить.
Например, я один раз даже был официально уполномоченным доверенностью представителем интересов сына своего близкого родственника на апелляции и помог ему отыграть на двух задачах целых три балла.
Правда, я был сконфужен огромным количеством знакомых мне коллег "с той стороны баррикад", некоторые из которых недоуменно меня спрашивали: "а ты-то что тут делаешь?". Приходилось отвечать: "пришел учить вас, как правильно решать задачи ЕГЭ". :D

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group