Матрица оператора в разных базисах

[NNDeaz]

Приветствую, помогите разобраться в данной теме:
У нас есть оператор и его матрица в каком-то базисе. Имея матрицу перехода от этого базиса к новому мы можем найти матрицу оператора в новом базисе.
Но что если рассматривать такую задачу: Привести матрицу преобразованием подобия к какому-нибудь удобному нам виду (любому, ЖНФ не рассматривается). То мы ведь, по сути тоже переходим от старого базиса к новому, ищем матрицу $C$ , такую что $C^{-1}AC$ нам подходит.
Что тогда имеется ввиду под старым и новым базисом? Старый базис есть единичный, а новый - это столбцы матрицы $C$?
Спасибо.

[Metford]

NNDeaz в сообщении #1207243 писал(а):

Старый базис есть единичный

Что значит "единичный базис"?
По-моему здесь просто всё по определению матрицы перехода. По столбцам записаны координаты базисных векторов, к которым переходим, в исходном базисе. Если Вы это имели в виду - то да, так.

[Brukvalub]

NNDeaz в сообщении #1207243 писал(а):

Старый базис есть единичный

Не бывает "единичных" базисов. Базис - это способ рассуждать о векторах как об упорядоченных наборах их координат, т.е. способ задания изоморфизма между конечномерным векторным пространством и арифметическим векторным пространством той же размерности.
Если же вы интересуетесь записью координат векторов базиса в самом этом базисе, то да, эти наборы координат образуют единичную матрицу.

[NNDeaz]

Под единичным базисом я имел ввиду $(1,0,...,0)^{T} $ ... $(0,...0,1)^{T}$
Если рассматривать матричный вариант задачи

Цитата:

Привести матрицу преобразованием подобия к какому-нибудь удобному нам виду

То мы ведь имеем по сути только матрицу, без исходного базиса.

Цитата:

По столбцам записаны координаты базисных векторов, к которым переходим, в исходном базисе

Что имеется ввиду тогда под исходным базисом?

[Metford]

NNDeaz в сообщении #1207252 писал(а):

То мы ведь имеем по сути только матрицу, без исходного базиса.

Не понял. А откуда матрица взялась?

[NNDeaz]

Из задания например)
Есть же задания где дана матрица и нужно вычислить ЖНФ (найти матрицу перехода С и матрицу Жордана)
Или просто преобразованием подобия привести матрицу к какому-то виду
У нас ведь только матрица, что надо считать старым базисом?

[arseniiv]

Ну, если вам дана только матрица оператора и не дан базис, в котором она его матрица, то он, разумеется, никак магическим образом явиться и не сможет. Что не отменяет того, что можно будет работать с ним и другими базисами, которые задаются матрицей перехода из этого. Из каких векторов эти базисы состоят, мы точно так же не будем знать, но это не мешает координатным вычислениям.

Если вы работаете непосредственно с арифметическим пространством, матрица уже и есть непосредственно способ задания линейного оператора, она не будет относиться ни к какому базису.

[Brukvalub]

arseniiv в сообщении #1207271 писал(а):

Если вы работаете непосредственно с арифметическим пространством, матрица уже и есть непосредственно способ задания линейного оператора, она не будет относиться ни к какому базису.

Вы в этом уверены?

[arseniiv]

Да, неудачно выразился. Линейным оператором тут, конечно, будет не сама матрица, а умножение на неё, и при этом матрицей оператора $v\mapsto Av$ в каноническом базисе будет сама $A$, что всё равно не мешает говорить и о матрицах этого оператора в других базисах.