Предел последовательности (задачи из Давидовича)

[irod]

Продолжаю прорешивать задачи из книжки Давидовича и ко http://www.mccme.ru/free-books/57/davidovich.pdf.
Этой темой начинаю 9 класс, здесь будут листки 11,12 (предел последовательности).
Прошу уважаемых форумчан проверить мои доказательства, как и в моих предыдущих темах.

Определение 1. Интервал $]a-\varepsilon,a+\varepsilon[$, где $\varepsilon>0$, называется $\varepsilon$-окрестностью точки (числа) $a$ и обозначается $U_\varepsilon (a)$.

Задача 1.
Доказать, что число $x$ принадлежит $\varepsilon$-окрестности точки $a$ тогда и только тогда, когда $|x-a|<\varepsilon$.

Доказательство.
Пусть $|x-a|<\varepsilon$. По определению модуля, это означает

$$ 0\le x-a<\varepsilon \land 0<a-x<\varepsilon $$ $$ \Leftrightarrow a\le x<a+\varepsilon \land a-\varepsilon<x<a $$ $$ \Rightarrow a-\varepsilon<x<a+\varepsilon, $$

т.е. $x\in U_\varepsilon (a)$.
Пусть теперь $x\in U_\varepsilon (a)$, т.е.

$$ a-\varepsilon<x<a+\varepsilon \Leftrightarrow -\varepsilon<x-a<\varepsilon. $$

Здесь

$$ -\varepsilon<x-a \Leftrightarrow a-x<\varepsilon. $$

Объединяя неравенства $a-x<\varepsilon$ и $x-a<\varepsilon$, получим $|x-a|<\varepsilon$.

-- 06.04.2017, 07:57 --

Для удобства продублирую тут определения.

Определение 2. Бесконечная последовательность действительных чисел -- это запись вида $x_1,x_2,x_3,\ldots$, сопоставляемая отображению $x:\mathbb{N}\to\mathbb{R}$ по правилу $x(i)=x_i$. Обозначение: $(x_n)$.

Определение 3. Число $a$ называется пределом последовательности $(x_n)$, если $\forall\varepsilon>0$ $\exists k\in\mathbb{N}$ $\forall n>k$ $|x_n-a|<\varepsilon$. Обозначения: (1) $\lim\limits_{n\to\infty} x_n=a$; (2) $x_n\to a$ при $n\to\infty$.

Определение 4. Говорят, что почти все члены последовательности $(x_n)$ удовлетворяют некоторому условию, если существует лишь конечное число таких элементов $i\in\mathbb{N}$, что $x_i$ не удовлетворяет этому условию.

Определение 5. Число $a$ называется пределом последовательности $(x_n)$, если любая $\varepsilon$-окрестность точки $a$ содержит почти все члены этой последовательности.

-- 06.04.2017, 08:07 --

Задача 2.
Докажите эквивалентность определений 3 и 5.

Доказательство.
Пусть $\lim\limits_{n\to\infty} x_n=a$ по определению 3, т.е. $\forall\varepsilon>0$ $\exists k\in\mathbb{N}$ $\forall n>k$ $x\in U_\varepsilon (a)$ (согласно задаче 1). Это значит, что начиная с некоторого индекса $k+1$, все члены $(x_n)$ принадлежат $U_\varepsilon (a)$. Всего таких членов бесконечное число, т.к. множество $\mathbb{N}\setminus\{1,\ldots,k\}$ очевидно счетно. Таким образом, любая $\varepsilon$-окрестность точки $a$ содержит почти все члены последовательности $(x_n)$, т.е. выполнено определение 5.
Пусть теперь $\lim\limits_{n\to\infty} x_n=a$ по определению 5, т.е. любая $\varepsilon$ не содержит лишь конечное число последовательности $(x_n)$. Возьмем произвольное $\varepsilon>0$ и обозначим как $k$ наибольший индекс элемента $x_n$, не принадлежащего $U_\varepsilon (a)$. Тогда $\forall n>k$ все элементы $x_n\in U_\varepsilon (a)$, т.е. с учетом задачи 1 выполнено неравенство $|x_n-a|<\varepsilon$ -- это определение 3.

-- 06.04.2017, 08:09 --

Задача 3.
Могут ли два разных числа быть пределами одной последовательности?

Ответ.
Предположим, что могут: $\lim\limits_{n\to\infty} x_n=a$, $\lim\limits_{n\to\infty} x_n=b$, $a\ne b$. Это означает (по определению 5), что любая $\varepsilon$-окрестность $a$ и $b$ содержит почти все члены $(x_n)$. Возьмем положительный $\varepsilon<|b-a|/2$, тогда $U_\varepsilon (a)\cap U_\varepsilon (b)=\varnothing$, и при этом 1) лишь конечное число членов $(x_n)$ не принадлежит $U_\varepsilon (a)$, 2) лишь конечное число членов $(x_n)$ не принадлежит $U_\varepsilon (b)$. Эти два утверждения не могут быть истинными одновременно для нашего $\varepsilon$, следовательно наше предположение неверно, и два разных числа не могут быть пределами одной последовательности.

-- 06.04.2017, 08:09 --

Задача 4.
Что означает, что число $a$ не является пределом последовательности $(x_n)$?

Ответ.
Отрицание определения 3:

$$ \neg(\forall\varepsilon>0\ \exists k\in\mathbb{N}\ \forall n>k\ |x_n-a|<\varepsilon) \Leftrightarrow $$

$$ \exists\varepsilon>0\ \forall k\in\mathbb{N}\ \exists n>k\ |x_n-a|\ge\varepsilon. $$

Отрицание определения 5:
$\neg$ (любая $\varepsilon$-окрестность точки $a$ содержит почти все члены этой последовательности) $\Leftrightarrow$ существует $\varepsilon$-окрестность точки $a$, которая содержит лишь конечное число членов этой последовательности.

[kotenok gav]

irod в сообщении #1206879 писал(а):

Возьмем положительный $\varepsilon<|b-a|/2$, тогда $U_\varepsilon (a)\cap U_\varepsilon (b)=\varnothing$

Почему?

[grizzly]

К задаче 2:

irod в сообщении #1206879 писал(а):

Всего таких членов бесконечное число, т.к. множество $\mathbb{N}\setminus\{1,\ldots,k\}$ очевидно счетно. Таким образом, любая $\varepsilon$-окрестность точки $a$ содержит почти все члены последовательности

Перед "Таким образом" нужно было сказать что-то совсем другое: число элементов, не попадающих в $\varepsilon$-окрестность -- не более чем $k$.

К задаче 3.

irod в сообщении #1206879 писал(а):

тогда $U_\varepsilon (a)\cap U_\varepsilon (b)=\varnothing$

вот Вы свели первую часть рассуждения к этому, а потом нигде его не использовали в доказательстве. Потом Вы повторяете определение, делаете какие-то операции в уме и выносите вердикт: "не сошлось".
Не принимается.

К задаче 4.

irod в сообщении #1206879 писал(а):

существует $\varepsilon$-окрестность точки $a$, которая содержит лишь конечное число членов этой последовательности.

Что-что?! Теперь видно, что ошибка в задаче 2 была не просто оговоркой.

[irod]

kotenok gav в сообщении #1206887 писал(а):

Почему?

Вынесу это утверждение в отдельную лемму, мне кажется оно еще не раз пригодится.

Лемма (к задаче 3). $\varepsilon$-окрестности двух различных чисел $a,b$ не пересекаются при $\varepsilon<\frac{|a-b|}{2}$.

Доказательство.
$U_\varepsilon (a)\cap U_\varepsilon (b)=\varnothing$ означает, что не существует $x$ такого что одновременно выполнено $a-\varepsilon<x<a+\varepsilon$ и $b-\varepsilon<x<b+\varepsilon$. Это возможно в двух случаях: либо $a+\varepsilon\le b-\varepsilon$ (при $a<b$), либо $b+\varepsilon\le a-\varepsilon$ (при $a>b$). Найдем подходящие $\varepsilon$ для этих случаев по отдельности.
1) Пусть $a<b$. Возьмем $\varepsilon<\frac{b-a}{2}$, тогда $-\varepsilon>-\frac{b-a}{2}=\frac{a-b}{2}$, и

$$ a+\varepsilon<a+\frac{b-a}{2}=\frac{a+b}{2}=b+\frac{a-b}{2}<b-\varepsilon. $$

2) Пусть $a>b$. Возьмем $\varepsilon<\frac{a-b}{2}$, тогда $-\varepsilon>-\frac{a-b}{2}=\frac{b-a}{2}$, и

$$ b+\varepsilon<b+\frac{a-b}{2}=\frac{b+a}{2}=a+\frac{b-a}{2}<a-\varepsilon. $$

Объединение наших исходных условий на $\varepsilon$ в первом и втором случаях дает неравенство $\varepsilon<\frac{|a-b|}{2}$, при котором, как показано выше, $\varepsilon$-окрестности точек $a,b$ не пересекаются.

-- 08.04.2017, 16:20 --

grizzly в сообщении #1206903 писал(а):

Перед "Таким образом" нужно было сказать что-то совсем другое: число элементов, не попадающих в $\varepsilon$-окрестность -- не более чем $k$.

Ок.

-- 08.04.2017, 16:24 --

grizzly в сообщении #1206903 писал(а):

К задаче 3.

irod в сообщении #1206879 писал(а):

тогда $U_\varepsilon (a)\cap U_\varepsilon (b)=\varnothing$

вот Вы свели первую часть рассуждения к этому, а потом нигде его не использовали в доказательстве. Потом Вы повторяете определение, делаете какие-то операции в уме и выносите вердикт: "не сошлось".
Не принимается.

Новый вариант.

irod в сообщении #1206879 писал(а):

Задача 3.
Могут ли два разных числа быть пределами одной последовательности?

Ответ.
Предположим, что могут: $\lim\limits_{n\to\infty} x_n=a$, $\lim\limits_{n\to\infty} x_n=b$, $a\ne b$.

Возьмем не пересекающиеся $\varepsilon$-окрестности $U_\varepsilon (a),U_\varepsilon (b)$ (см. вспомогательную лемму). По определению 5, $U_\varepsilon (a)$ содержит почти все члены $(x_n)$, т.е. вне $U_\varepsilon (a)$ может находиться не более чем конечное число членов $(x_n)$. $U_\varepsilon (b)$ находится целиком вне $U_\varepsilon (a)$, и значит может содержать не более чем конечное число членов $(x_n)$. Но согласно тому же определению 5, $U_\varepsilon (b)$ должно содержать почти все члены $(x_n)$ чтобы точка $b$ была пределом $(x_n)$. Следовательно, наше предположение неверно, и $b$ не может быть пределом $(x_n)$ одновременно с $a$, т.е. два разных числа не могут быть пределами одной последовательности.

[grizzly]

irod в сообщении #1207562 писал(а):

Новый вариант [Задачи 3].

Принимается.

[kotenok gav]

grizzly в сообщении #1206903 писал(а):

Что-что?! Теперь видно, что ошибка в задаче 2 была не просто оговоркой.

А где тут ошибка?

[grizzly]

kotenok gav
Касательно этого и предыдущего вопросов в этой теме. Если Вы хотите понять детали обсуждений в разделе ПРР, не следует этого делать в чужих темах ПРР. Следует создать свою тему, задать там вопрос и привести собственные попытки понять или найти решение. Тогда Вам помогут.

[irod]

grizzly в сообщении #1207564 писал(а):

irod в сообщении #1207562 писал(а):

Новый вариант [Задачи 3].

Принимается.

Ура

-- 08.04.2017, 17:51 --

grizzly в сообщении #1206903 писал(а):

К задаче 4.

irod в сообщении #1206879 писал(а):

существует $\varepsilon$-окрестность точки $a$, которая содержит лишь конечное число членов этой последовательности.

Что-что?! Теперь видно, что ошибка в задаче 2 была не просто оговоркой.

Я посмотрел на определение предельной точки последовательности и кажется понял в чем моя ошибка.
Попробую еще раз.
Отрицание определения 5:
$\neg$ (любая $\varepsilon$-окрестность точки $a$ содержит почти все члены этой последовательности) $\Leftrightarrow$
существует $\varepsilon$-окрестность точки $a$, для которой неверно, что она содержит почти все члены этой последовательности $\Leftrightarrow$
существует $\varepsilon$-окрестность точки $a$, вне которой содержится бесконечное число членов этой последовательности.

[grizzly]

irod в сообщении #1207603 писал(а):

Отрицание определения 5:

Ок.

[irod]

Задача 5.
Какие из следующих последовательностей имеют пределы:

а) $1,-\frac{1}{2},\frac{1}{3},-\frac{1}{4},\ldots$
Ответ: предел равен нулю.
Доказательство.
Запишем нашу последовательность в виде $x_n=\frac{(-1)^{n+1}}{n}$. Согласно аксиоме Архимеда, $\forall\varepsilon>0$ $\exists n>\frac{1}{\varepsilon}$. Тогда $|x_n|=\Big |\frac{(-1)^{n+1}}{n}\Big |=\frac{1}{n}<\varepsilon$.

б) $1,2,3,4,5,6,\ldots$
Ответ: предела не существует.
Доказательство.
От противного. Предположим, $\lim\limits_{n\to\infty} n=a$.
Возьмем минимальное $k\in\mathbb{N}$ такое что $k>a$, и возьмем положительный $\varepsilon<k-a$. Тогда $\forall n>k$ имеем $|n-a|=n-a>k-a>\varepsilon$, т.е. вне $U_\varepsilon (a)$ находится бесконечно много членов $(x_n)$. Этим доказана ошибочность нашего предположения.

в) $-1,1,-1,1,-1,1,\ldots$
Ответ: предела не существует.
Доказательство.
Возьмем положительный $\varepsilon<1/2$, тогда $U_\varepsilon (-1)\cap U_\varepsilon (1)=\varnothing$. При этом и в $U_\varepsilon (-1)$ и в $U_\varepsilon (1)$ содержится бесконечно много членов последовательности, следовательно $1$ и $-1$ не могут быть пределами одновременно (см. отрицание определения 5 в задаче 4), значит предела не существует.

[grizzly]

irod в сообщении #1207701 писал(а):

Согласно аксиоме Архимеда, $\forall\varepsilon>0$ $\exists n>\frac{1}{\varepsilon}$. Тогда $|x_n|=\Big |\frac{(-1)^{n+1}}{n}\Big |=\frac{1}{n}<\varepsilon$.

Этого недостаточно для доказательства.

irod в сообщении #1207701 писал(а):

При этом и в $U_\varepsilon (-1)$ и в $U_\varepsilon (1)$ содержится бесконечно много членов последовательности, следовательно $1$ и $-1$ не могут быть пределами одновременно (см. отрицание определения 5 в задаче 4), значит предела не существует.

уж очень коряво звучит это "следовательно".

[irod]

grizzly в сообщении #1207756 писал(а):

Этого недостаточно для доказательства.

Согласно аксиоме Архимеда, $\forall\varepsilon>0$ $\exists k>\frac{1}{\varepsilon}$. Тогда $\forall n>k$ имеем $|x_n|=\Big |\frac{(-1)^{n+1}}{n}\Big |=\frac{1}{n}<\frac{1}{k}<\varepsilon$.

grizzly в сообщении #1207756 писал(а):

уж очень коряво звучит это "следовательно".

$U_\varepsilon (-1)$ и $U_\varepsilon (1)$ не пересекаются, при этом в каждой их них содержится бесконечно много членов последовательности. По определению 5, если $-1$ -- предел, то вне $U_\varepsilon (-1)$ может находиться не более чем конечное число членов последовательности. Но у нас вне $U_\varepsilon (-1)$ находится бесконечно много членов, следовательно, $-1$ не может быть пределом. Аналогично, $1$ не может быть пределом. Таким образом, $1$ и $-1$ не могут быть пределами одновременно, значит предела не существует.

-- 09.04.2017, 10:19 --

Продолжаю

irod в сообщении #1207701 писал(а):

Задача 5.
Какие из следующих последовательностей имеют пределы:

г) $0,\frac{1}{2},0,\frac{1}{3},0,\frac{1}{4},\ldots$
Ответ: предел равен нулю.
Доказательство.
В этой последовательности $(x_n)$ бесконечное число членов равны нулю, остальные члены можно записать в виде $x_{2n}=\frac{1}{n+1}$. Согласно аксиоме Архимеда, $\forall\varepsilon>0$ $\exists k>\frac{1}{\varepsilon}-1$. Тогда $\forall n>k$ имеем $|x_{2n}|=\Big |\frac{1}{n+1}\Big |=\frac{1}{n+1}<\frac{1}{k+1}<\varepsilon$. Таким образом, $\forall\varepsilon>0$ $\exists k\in\mathbb{N}$ $\forall n>k$ $|x_n|<\varepsilon$, т.е. $\lim\limits_{n\to\infty} x_n=0$ по определению 3.

Аксиома Архимеда оказалась крайне полезной штукой

-- 09.04.2017, 10:30 --

д) $0.2,0.22,0.22,\ldots$
Вот тут я сходу ничего не придумал. Возможно здесь мне аукнется мой пропуск листка 9 по десятичной записи действительного числа.

[grizzly]

irod в сообщении #1207791 писал(а):

Таким образом, $1$ и $-1$ не могут быть пределами одновременно, значит предела не существует.

Вот этого "таким образом" я по-прежнему понять не могу. Или Вы говорите не то, что думаете или плохо думаете (Поскольку это повторилось дважды подряд, я в недоумении.)

Утверждение "$1$ и $-1$ не могут одновременно быть пределами одной последовательности" действительно верно. Но оно верно не в силу приведенных Вами аргументов, а в силу Задачи 3.

Впрочем, это не самое худшее. Посмотрите, что Вам нужно доказать и что Вы на самом деле доказываете. Я не приму эту задачу пока не увижу понятного доказательства.

-- 09.04.2017, 11:21 --

irod в сообщении #1207791 писал(а):

Вот тут я сходу ничего не придумал.

А существует предел или нет? Разрешается просто угадать предел, а потом доказывать, что это он и есть.

irod в сообщении #1207791 писал(а):

Возможно здесь мне аукнется мой пропуск листка 9 по десятичной записи действительного числа.

Скорее всего. А если записать то же в виде обыкновенных дробей? (хотя в данном случае это читерство, наверное)
Можно пропустить пока задачу. На горизонте не видно других подобных. Но тема про десятичную запись сама по себе важна.

[irod]

grizzly в сообщении #1207799 писал(а):

Можно пропустить пока задачу. На горизонте не видно других подобных. Но тема про десятичную запись сама по себе важна.

Ок. Пока пропускаю эту задачу.

-- 09.04.2017, 22:36 --

grizzly в сообщении #1207799 писал(а):

Посмотрите, что Вам нужно доказать и что Вы на самом деле доказываете. Я не приму эту задачу пока не увижу понятного доказательства.

Вы правы, я все это время что-то не то доказывал.
Новая попытка.
Что означает, что предела $(x_n)$ не существует (с использованием определения 5): не существует такой точки $a$, для которой выполнено определение предела $\Leftrightarrow$ $\forall a\in\mathbb{R}$ существует $\varepsilon$-окрестность $a$, вне которой содержится бесконечное число членов $(x_n)$ (см. задачу 4).

irod в сообщении #1207701 писал(а):

в) $-1,1,-1,1,-1,1,\ldots$

Очевидно, кандидатов в предел нашей последовательности всего два: $1$ и $-1$, т.к. для любой другой точки $a$ достаточно взять $\varepsilon$ меньшим расстояния от $a$ до ближайшей к ней из точек $1,-1$ и получить тем самым $U_\varepsilon (a)$, вне которой будет содержаться бесконечное число членов последовательности.
Далее частично повторим предыдущее доказательство:

irod в сообщении #1207791 писал(а):

$U_\varepsilon (-1)$ и $U_\varepsilon (1)$ не пересекаются, при этом в каждой их них содержится бесконечно много членов последовательности. По определению 5, если $-1$ -- предел, то вне $U_\varepsilon (-1)$ может находиться не более чем конечное число членов последовательности. Но у нас вне $U_\varepsilon (-1)$ находится бесконечно много членов, следовательно, $-1$ не может быть пределом. Аналогично, $1$ не может быть пределом.

И осталось только сказать, что раз никакая точка, включая $1$ и $-1$, не является пределом, то предела не существует.

-- 09.04.2017, 22:39 --

irod в сообщении #1207701 писал(а):

Задача 5.
Какие из следующих последовательностей имеют пределы:

е) $0,1\frac{1}{2},-\frac{2}{3},1\frac{1}{4},-\frac{4}{5},1\frac{1}{6},\ldots$
Ответ: предела не существует.
Доказательство. Перепишем для удобства $(x_n)=0,1,\frac{3}{2},-\frac{2}{3},\frac{5}{4},-\frac{4}{5}$. Тогда вся $(x_n)$ состоит из членов $x_1=0$, $x_{2n}=\frac{2n+1}{2n}=1+\frac{1}{2n}$ и $x_{2n+1}=-\frac{2n}{2n+1}$.
Рассмотрим $(x_{2n})$.
По аксиоме Архимеда $\forall\varepsilon>0$ $\exists k$ такое что $k>\frac{1}{2\varepsilon}$. Тогда $\forall n>k$ имеем

$$ |x_{2n}-1|=\bigg |1+\frac{1}{2n}-1\bigg |=\frac{1}{2n}<\frac{1}{2k}<\varepsilon, $$

т.е. в любой $\varepsilon$-окрестности точки $1$ содержатся почти все члены вида $(x_{2n})$.
Рассмотрим $(x_{2n+1})$.
По аксиоме Архимеда $\forall\varepsilon>0$ $\exists k$ такое что $k>\frac{1-\varepsilon}{2\varepsilon}$. Заметим, что $\forall k\in\mathbb{N}$ $0<\frac{2k}{2k+1}<1$, поэтому $\Big |1-\frac{2k}{2k+1} \Big |=1-\frac{2k}{2k+1}=\frac{1}{2k+1}$. Тогда $\forall n>k$ имеем

$$ \Big |1-\frac{2n}{2n+1}\Big |=\frac{1}{2n+1}<\frac{1}{2k+1}<\frac{1}{\frac{1-\varepsilon}{\varepsilon}+1}=\varepsilon, $$

т.е. в любой $\varepsilon$-окрестности точки $-1$ содержатся почти все члены вида $(x_{2n+1})$.
Таким образом, в $U_\varepsilon (1)$ содержится бесконечно много членов $(x_n)$, и в $U_\varepsilon (-1)$ также содержится бесконечно много членов $(x_n)$. Повторив доказательство пункта в), получим что предела не существует.

[grizzly]

Теперь согласен.

Я бы пытался сэкономить на рассуждениях. Например, для пункта в):
Произвольная точка $a\ge 0$ не может быть пределом, поскольку вне окрестности $U_{a+1}(a)$ находится бесконечно много членов последовательности, равных $-1$. Аналогично для $a<0$.

Экономия здесь не шибко большая, но подобный подход в п.е) позволил бы здорово сократить выкладки, я считаю.