2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Функция, всюду непрерывная, но дифференцируемая только в одн
Сообщение20.05.2008, 06:42 
Имеются ли функции, всюду непрерывные, но дифференцируемые только в одной точке?

 
 
 
 
Сообщение20.05.2008, 07:06 
Аватара пользователя
Существуют. Возьмите любую непрерывную нигде не дифференцируемую функцию и домножьте её на подходящий множитель.

 
 
 
 
Сообщение20.05.2008, 07:09 
Аватара пользователя
Если вы знаете пример непрерывной, но нигде не дифференцируемой функции, то по-моему несложно построить пример для вашего случая.

Добавлено спустя 1 минуту 13 секунд:

RIP писал(а):
Существуют. Возьмите любую непрерывную нигде не дифференцируемую функцию и домножьте её на подходящий множитель.


Я опоздал на 1 минуту почти :D

 
 
 
 
Сообщение20.05.2008, 07:09 
RIP писал(а):
Существуют. Возьмите любую непрерывную нигде не дифференцируемую функцию и домножьте её на подходящий множитель.

недостаточно убедительно. На какой конкретно подходящий? если функция любая?

Нужен конкретный пример, в котором характер недифференцируемости хоть в одной точке явно бы контролировался.

 
 
 
 
Сообщение20.05.2008, 07:13 
Аватара пользователя
 !  ewert
Пожалуйста, не выпендривайтесь. В этом разделе форума намеренно оставляют ответы неявными, чтобы вопрошающий мог подумать.

 
 
 
 
Сообщение20.05.2008, 08:15 
Может, расширим вопрос? Интересно, для каких множеств $E\subseteq\mathbb{R}$ существует непрерывная функция, дифференцируемая в точности на $E$?

Мне, например, ясно только что $E$ должно быть измеримым.

 
 
 
 
Сообщение20.05.2008, 08:26 
Аватара пользователя
Ну, для замкнутого $E$ пример строится точно так же, а вот как быть с другими — фиг его знает.

 
 
 
 
Сообщение20.05.2008, 17:20 
Аватара пользователя
ewert писал(а):
недостаточно убедительно. На какой конкретно подходящий? если функция любая?


На $x^2$.

 
 
 
 
Сообщение20.05.2008, 18:08 
Аватара пользователя
ewert писал(а):
Не прокатит. Ни на какую конкретную функцию не прокатит. Ибо право-левые верхне-нижние производные вправе быть сколь угодно бесконечными.

А вот отдельные товарищи почему-то считают, что я тут выёживаюсь...
Конечно, выёживаетесь. Объясняю. Непрерывная в единичной окрестности нуля функция f(x) ограничена в ней некоторой константой С. Тогда
\[\left| {\frac{{x^2 f(x)}}{x}} \right| < C\left| x \right| \to 0\], то есть производная в нуле есть и равна 0. Нужно объяснять, почему ее не возникнет в других точках?

 
 
 
 
Сообщение20.05.2008, 18:16 
Аватара пользователя
RIP писал(а):
Возьмите любую непрерывную нигде не дифференцируемую функцию...


А это правда, что такая функция называется "пила Вейерштрасса"? И, кстати, она "в явном виде" как-то строится или утверждение о наличии такой функции --- "чистая" теорема существования?

 
 
 
 
Сообщение20.05.2008, 18:20 
$$\sum_{k=1}^\infty2^{-k}\cos(8^kx)$$ подходит.

 
 
 
 
Сообщение20.05.2008, 18:28 
Аватара пользователя
Профессор Снэйп писал(а):
А это правда, что такая функция называется "пила Вейерштрасса"? И, кстати, она "в явном виде" как-то строится или утверждение о наличии такой функции --- "чистая" теорема существования?


Конкретно под названием "пила Вейерштрасса" мне известна следующая функция. Обозначим $\varphi(x)$ периодическую функцию с периодом $T=1$, которая на промежутке $[0,1)$ определяется так:
$$\varphi(x)=\begin{cases}x\text{ при }0\leqslant x<\frac 12\text{,}\\ 1-x\text{ при }\frac 12\leqslant x<1\text{.}\end{cases}$$
Тогда "пила" определяется как
$$f(x)=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\varphi(2^kx)}{2^k}\text{.}$$

 
 
 
 
Сообщение20.05.2008, 18:33 
Аватара пользователя
Читаем, например, это: http://kvant.mirror1.mccme.ru/pdf/2001/02/kv0201kaleid.pdf
Все построенные там примеры - конструктивны!

 
 
 
 
Сообщение20.05.2008, 22:25 
AD писал(а):
$$\sum_{k=1}^\infty2^{-k}\cos(8^kx)$$ подходит.


Если я правильно понял, то данная функция непрерывная и нигде не дифференцируемая. Только не совсем понятно, на какую множитель надо ее умножить, чтобы получилась всюду непрерывная, но дифференцируемая только в одной точке функция!

 
 
 
 
Сообщение20.05.2008, 22:41 
Аватара пользователя
Ilnur писал(а):
Только не совсем понятно, на какую множитель надо ее умножить, чтобы получилась всюду непрерывная, но дифференцируемая только в одной точке функция!

Someone писал(а):
На $x^2$

 
 
 [ Сообщений: 16 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group