Установить закон распределения для случайной величины

[alexj]

Подскажите, как решить такую задачу:
Пусть $n,\bar{X}, S^2$ - соответственно объем, выборочные средние и дисперсия выборки из нормального распределения $N(\theta_1,\theta_2^2)$ (оба параметра неизвестны).

Указание: установить, что случайная величина $\bar{X} - X_{n+1}$ распределена по закону $N(0,\dfrac{n+1}{n}\theta_2^2)$

То, что среднее равно 0 для меня понятно, т.к.
$\bar{X}=\dfrac{1}{n}(X_1 - X_2 + X_2 - X_3 + X_3 - X_4 ....)$

но как прийти к формуле дисперсии?

[Brukvalub]

alexj в сообщении #1206319 писал(а):

То, что среднее равно 0 для меня понятно, т.к.
$\bar{X}=\dfrac{1}{n}(X_1 - X_2 + X_2 - X_3 + X_3 - X_4 ....)$

Вы уверены в цитированном тождестве?

[alexj]

Brukvalub в сообщении #1206329 писал(а):

alexj в сообщении #1206319 писал(а):

То, что среднее равно 0 для меня понятно, т.к.
$\bar{X}=\dfrac{1}{n}(X_1 - X_2 + X_2 - X_3 + X_3 - X_4 ....)$

Вы уверены в цитированном тождестве?

нет, не уверен,
это больше собственное предположение, чем цитата
кажется логичным

[Lia]

alexj
Не кажется. Что такое $\bar X$ и чему оно равно?

[alexj]

Lia в сообщении #1206342 писал(а):

alexj
Не кажется. Что такое $\bar X$ и чему оно равно?

$\bar X$ это выборочное среднее, может не правильно выбрал обозначение,
имел ввиду формулу для расчета первого параметра $N$, равного 0
правильнее, наверно, обозначить его $\mu=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(X_n-X_{n+1})$

[Brukvalub]

alexj в сообщении #1206344 писал(а):

правильнее, наверно, обозначить его $\mu=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(X_n-X_{n+1})$

Странно, что индекс суммирования никак не появляется в слагаемых...Может, так и было задумано, но тогда это коварный замысел!

[provincialka]

Формально говоря, не определено, что такое $X_k$, а уж тем более -- $X_{n+1}$, если объем выборки равен $n$.

[--mS--]

alexj в сообщении #1206344 писал(а):

имел ввиду формулу для расчета первого параметра $N$, равного 0
правильнее, наверно, обозначить его $\mu=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(X_n-X_{n+1})$

Вы что-нибудь слышали о математическом ожидании случайной величины? Первый параметр нормального распределения - это его математическое ожидание. Оно число. Тогда как $X_1$, $X_i$, $X_{n+1}$, $\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=1}^{n}(X_n-X_{n+1})$ суть случайные величины. Причём с абсолютно непрерывным распределением, так что равняться этому (или любому иному) числу могут лишь с нулевой вероятностью.

[alexj]

Приведу текст задачи полностью, возможно мой вопрос вырван из контекста.
16.102 (Прогнозирование будущих наблюдений). Пусть $n,\bar{X}, S^2$ - соответственно объем, выборочные средние и дисперсия выборки из нормального распределения $N(\theta_1,\theta_2^2)$ (оба параметра неизвестны). Доказать, что с вероятностью $\gamma$ результат следующего $(n+1)$-го испытания $X_{n+1}$ попадет в следующий интервал:
$(\overline{X}\pm$t_{(1+\gamma)/2,n-1}S$\sqrt{(n+1)/(n-1)})$.
УКАЗАНИЕ: Установить сначала, что случайная величина $\bar{X} - X_{n+1}$ распределена по закону $N(0,\dfrac{n+1}{n}\theta_2^2)$; воспользоваться теоремой Фишера и определением распределения Стьюдента

учеб. пособие для вузов/ В. А. Ватутин, Г. И. Ивченко, Ю. И. Медведев и др. 2005г.


Как же установить, что случайная величина распределена по закону $N(0,\dfrac{n+1}{n}\theta_2^2)$?
Вторая часть задачи мне понятна.

[Lia]

alexj в сообщении #1206532 писал(а):

Как же установить, что случайная величина распределена по закону $N(0,\dfrac{n+1}{n}\theta_2^2)$?

Непосредственно из определения выборочного среднего и свойств суммы нормальных распределений.
(Выборка, судя по всему, подразумевается независимой.)

[Brukvalub]

Lia в сообщении #1206535 писал(а):

(Выборка, судя по всему, подразумевается независимой.)

Так выборка всегда считается набором независимых одинаково распределенных с.в., так что это можно не оговаривать специально.

[alexj]

Получается отдельно для $\bar{X}$ будет распределение $N(\theta_1,\frac{\theta_2^2}{n})$
а для $X_{n+1}$ будет $N(\theta_1,\theta_2^2)$, т.к. оно из той же выборки

А для $\bar{X} - X_{n+1}$ будет $N(\theta_1,\frac{\theta_2^2}{n}) - N(\theta_1,\theta_2^2)$

[Lia]

Ну Вы закончите уж.

[alexj]

Lia в сообщении #1207081 писал(а):

Ну Вы закончите уж.

Да, задумался, не сразу понял почему при сложении независимых случайных величин их дисперсии складываются.

alexj в сообщении #1207080 писал(а):

А для $\bar{X} - X_{n+1}$ будет $N(\theta_1,\frac{\theta_2^2}{n}) - N(\theta_1,\theta_2^2)$

$N(\theta_1-\theta_1,\frac{\theta_2^2}{n}+\theta_2^2)$

$N(0,\dfrac{(n+1)}{n}\theta_2^2)$

[--mS--]

alexj в сообщении #1207103 писал(а):

Да, задумался, не сразу понял почему при сложении независимых случайных величин их дисперсии складываются.

Как минимум, потому, что дисперсия отрицательной быть не желает.