Римановы поверхности

[Pallant]

Доброго времени суток!
Возник вопрос: правильно ли представляю риманову поверхность для функции $f(z)=\sqrt{z}+\sqrt{z-1}$?
Три точки ветвления, все второго порядка (для бесконечности $f\Big(\frac{1}{t}\Big)=\frac{\sqrt{t}+\sqrt{t-1}}{\sqrt{t}}$). На рисунке склеены берега разрезов одинакового цвета.

На следующем рисунке: $w_1$ -- точка ветвления второго порядка, $w_2$ -- второго порядка, $w_1$ -- третьего порядка. Так ли это?

[alcoholist]

Почему три точки ветвления?
Функция голоморфна в комплексной плоскости с разрезами $S=\mathbb{C}\setminus\Bigl((-\infty;0]\cup[1;+\infty)\Bigr)$. Соответственно, риманова поверхность будет склеена из счетного числа экземпляров $S$. Разве не так?

[Brukvalub]

alcoholist в сообщении #1206049 писал(а):

Соответственно, риманова поверхность будет склеена из счетного числа экземпляров $S$. Разве не так?

Не так. Риманова поверхность этой функции получается склейкой по разрезам 4-х экземпляров разрезанной комплексной плоскости.

[Pallant]

Brukvalub

Не понимаю как можно организовать разрезы на 4-х поверхностях. Если склеить две пары, то исключится возможность перехода с одной пары на другую.
Имеете в виду, провести по три разреза на каждой плоскости и по-хитрому склеить?

На рисунке точки $w_1$, $w_2$, $w_3$ соответствуют точкам 0, 1, $\infty$.

[g______d]

На бесконечности никакой точки ветвления нет. Достаточно одного разреза от $0$ до $1$ (и, соответственно, экземпляров $\mathbb C$ только два).

[svv]

g______d, Вы ошибаетесь.

[Brukvalub]

g______d в сообщении #1206473 писал(а):

На бесконечности никакой точки ветвления нет. Достаточно одного разреза от $0$ до $1$ (и, соответственно, экземпляров $\mathbb C$ только два).

Например, в точке $2$ рассматриваемая функция имеет $4$ разных значения. Не понимаю, как их разместить на двух листах?

-- Вт апр 04, 2017 17:19:43 --

g______d в сообщении #1206473 писал(а):

На бесконечности никакой точки ветвления нет.

В кольце $1<|z|<\infty$ данная функция распадается на две аналитические ветви, и каждая ветвь в бесконечности имеет алгебраическую точку ветвления второго порядка.

[mihaild]

Нам нужен какой-то разрез, который не дает обходить вокруг $0$ и $1$. Например, по каким-нибудь прямым ($A$ и $B$) из бесконечности в эти точки. Дальше склеиваем $4$ экземпляра плоскости: по разрезу $A$ склеиваем первый и второй, а также третий и четвертый, по разрезу $B$ - первый и третий, а также второй и четвертый.
При переходе через разрез $A$ меняется ветвь $\sqrt{z}$, через $B$ - $\sqrt{z - 1}$.

Не проврался? Если нет - то как "представить" получившуюся конструкцию, и можно ли обойтись "одним" разрезом, типа $(-\infty; 1]$?

[DeBill]

mihaild
Да все хорошо. А "один" разрез - ничуть не лучше.
Для двух разрезов: кажный из четырех экземпляров - сфера с двумя дырками.
Коррекция (после картинки ТС): фиг Нам, не с двумя, а с одним большим дыром, граница которого - из четырех отрезков.
Блин, все - не так....

[g______d]

Спасибо, кажется, я проврался. Прошу прощения.

-- Вт, 04 апр 2017 08:15:22 --

Действительно, нужно как минимум четыре листа, поскольку соответствующая кривая четвёртой степени. Я перепутал ситуацию с функцией $\sqrt{z(z-1)}$.

[Pallant]

Brukvalub, спасибо! Действительно, в точке $z=2$ четыре значения, значит 4 листа должно быть.
Склеил) вот что получилось:

На этот раз бесконечность не стал передвигать.

А как со второй картинкой? Вроде может послужить моделью римановой поверхности, но точка, например, $w_1$ будет ли называться точкой ветвления второго порядка?

[Brukvalub]

Pallant в сообщении #1206517 писал(а):

А как со второй картинкой?

Я вторую картинку не понимаю, поэтому комментировать не могу. Для чего она нарисована, какой функции соответствует?

[DeBill]

Про картинку: если аккуратно сложить - по цветам из нее - сфера будет, однако.
Что вполне соответствует выкладкам:
$w=\sqrt{z}+ \sqrt{z-1} \Leftrightarrow w^2=2z-1 +2\sqrt{z^2-z}\Leftrightarrow$
$(w^2 -(2z-1))^2 = 4(z^2-z) \Leftrightarrow w^4-2w^2(2z-1) +1=0 \Leftrightarrow$
$z=\frac{1}{2}\cdot (1+\frac{w^4 +1}{2w^2})$
Т.е., $w$ - параметр на РП, сфера это.

[svv]

Pallant
Можно так ещё описать склейку. Проведём 3 разреза (для симметрии) между всеми парами точек ветвления, по вещественной оси. Склеиваем 4 верхних полуплоскости $a, b, c, d$ $(\operatorname{Im}z>0)$ и 4 нижних $e,f,g,h$ $(\operatorname{Im}z<0)$, как на картинке:


Или так. Возьмём куб с вершинами в точках $x=\pm 1, y=\pm 1, z=\pm 1$. Красим вершины в красный и синий цвет в шахматном порядке. Красные вершины — верхние полуплоскости, синие — нижние полуплоскости.
Выберем какую-либо вершину.
Пересекая вещественную ось между 0 и 1, прыгаем в вершину с противоположным знаком $x$.
Пересекая вещественную ось между 1 и $\infty$, прыгаем в вершину с противоположным знаком $y$.
Пересекая вещественную ось между $\infty$ и $0$, прыгаем в вершину с противоположным знаком $z$.

А можно сопоставить экземпляры полуплоскостей граням октаэдра, они склеиваются по рёбрам, а вершины — точки ветвления.
А можно — восьмушкам сферы, как DeBill говорит.

[DeBill]

Pallant
Имеется какая-то путаница: на картинке, $w_i$- это ВЕТВИ Вашей многозначной функции, а Вы говорите про

Pallant в сообщении #1206517 писал(а):

точка, например, $w_1$

Далее, про точки ветвления и их порядок: не совсем корректно говорить о порядке точки ветвления всей аналитической функции: фишка в том, что разные её ветви, в одной и той же точке, могут иметь разный порядок ветвления. Посмотрите, например, весьма показательный в этом плане пример 5 г.3 параграф 5 из книжки Шабат, ВВедение в комплексный анализ.
О Вашей функции: в окрестности каждой из трех точек $0,1,\infty$, Ваша функция распадается на пару ветвей, для каждой из которых эта точка является таки точкой ветвления второго порядка. Так что, в некотором смысле, эти три точки - "двойные " точки ветвления...