Найти преобразование Фурье

[Малкин Станислав]

Задача вроди простая, но что-то у меня не получается ее решить. Может кто-то тут подскажет?

Нужно найти преобразование Фурье для функции:

$x^2\exp(-ax^2)$, где $a>0$, $x\in R$

Заранее благодарю!

[ewert]

Преобразование Фурье от гауссовского колокольчика (собственно экспонента) есть сам колокольчик, только в другом масштабе. Умножение исходной функции на аргумент соответствует дифференцированию Фурье-образа. Детали см. в шпаргалках (ну или можно просто вывести, это легко).

[Малкин Станислав]

ewert писал(а):

Преобразование Фурье от гауссовского колокольчика (собственно экспонента) есть сам колокольчик, только в другом масштабе. Умножение исходной функции на аргумент соответствует дифференцированию Фурье-образа. Детали см. в шпаргалках.

Каких шпаргалках, можно по-подробнее? Не совсем понимаю..

[ewert]

ну свойства, свойства есть стандартные у преобразования Фурье). Хотя одну деталь всё же назову (она с непривычки не так очевидна): преобразование Фурье от колокольчика в точности равно исходному колокольчику, если коэффициент в показателе равен одной второй.

[Малкин Станислав]

ewert, если не сложно - хотелось бы больше информации, может с примерами или ссылками на литературу - что-то туговато-то у меня с пониманием абстрактных (для меня) фраз.

Спасибо.

Добавлено спустя 1 минуту 26 секунд:

ewert писал(а):

Преобразование Фурье от гауссовского колокольчика (собственно экспонента) есть сам колокольчик, только в другом масштабе. Умножение исходной функции на аргумент соответствует дифференцированию Фурье-образа. Детали см. в шпаргалках (ну или можно просто вывести, это легко).

Если я правильно понял, то речь идет о http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1% ... 1%8C%D0%B5 - из таблицы - пункт 15?

Добавлено спустя 1 минуту 51 секунду:

Момент с колокольчиком - мне понятен, это стандартное свойство из таблицы преобразований. Я не совсем понимаю, что делать в данной функции при преобразовании с x^2, что стоит перед експонентой.

[ewert]

да, п.15-й. Насчёт умножения на икс квадрат: попробуйте формально записать интеграл для преобразования от чистого колокольчика (не сам результат!), пару раз продифференцируйте по параметру "омега" и поглядите, что из этого выйдет.

Или просто посмотрите строчку 6 в той же табличке.

[Малкин Станислав]

ewert писал(а):

да, п.15-й. Насчёт умножения на икс квадрат: попробуйте формально записать интеграл для преобразования от чистого колокольчика (не сам результат!), пару раз продифференцируйте по параметру "омега" и поглядите, что из этого выйдет.

Тобишь воспользоваться п.5 все из той же таблицы?

Добавлено спустя 1 минуту 19 секунд:

Я пытался воспользоваться п.6 из таблицы, он по-моему тут подходит, но когда доходит до двойного дифференциала - у меня начинается ступор и я не понимаю, что делать дальше...

[ewert]

нет, всё же 6-м

[Малкин Станислав]

ewert писал(а):

нет, всё же 6-м

Чуть выше прочитайте, пожалуйста. Я про это упомянул Там же описал с чем у меня заминка, может что-то подскажите или направите в нужную сторону.

[ewert]

Малкин Станислав писал(а):

ewert писал(а):

да, п.15-й. Насчёт умножения на икс квадрат: попробуйте формально записать интеграл для преобразования от чистого колокольчика (не сам результат!), пару раз продифференцируйте по параметру "омега" и поглядите, что из этого выйдет.

Тобишь воспользоваться п.5 все из той же таблицы?

Добавлено спустя 1 минуту 19 секунд:

Я пытался воспользоваться п.6 из таблицы, он по-моему тут подходит, но когда доходит до двойного дифференциала - у меня начинается ступор и я не понимаю, что делать дальше...

что значит "доходит"? там же произвольный порядок дифференцирования. В частности, и второй. Вторые-то производные Вы, наверное, брать умеете?

[Малкин Станислав]

ewert писал(а):

что значит "доходит"? там же произвольный порядок дифференцирования. В частности, и второй. Вторые-то производные Вы, наверное, брать умеете?

Да, умею, естественно. Вы будете смеяться, но вторую производную взять от функции - не проблема, но когда там стоит не функция, а преобразование Фурье - я теряюсь, что с ним делать.

Если я правильно понимаю, то нужно воспользоваться дважды п.5 из таблицы или я чего-то не понимаю?

[ewert]

нет, не понимаете. Не 5-м, а 6-м. И уж коли свойство формально выписано, то при чём тут интеграл? Результат преобразования у Вас уже есть, вот его формально и дифференцируйте.

[Малкин Станислав]

Ладно, не буду доставать Вас своими глупыми вопросами Наверное и так выгляжу идиотом со стороны.

У меня проблема с тем, что делать дальше, после того, как я "в лоб" применил формулу 6 из таблицы. Я не понимаю, что делать с $\frac {d^2F(w)} {dw^2}$

[ewert]

Тупо считать. У Вас же есть явное выражение для Эф от омега.

[Малкин Станислав]

ewert писал(а):

Тупо считать. У Вас же есть явное выражение для Эф от омега.

Вы имеете ввиду $x^2*exp(-ax^2)$ ?