Задача Дирихле для уранения Лапласа с плохими гр. условиями

[Asalex]

Помогите разобраться.


Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольнике существует для любой непрерывной граничной функции.


Рассмотрим такие граничные условия: на трех сторонах прямоугольника[0,a]x[0,b] {x=0},{y=0},{y=b} граничная функция равна нулю, а на четвертой--неразлагающейся в ряд Фурье непрерыной функции f(x),f(0)=f(a)=0.


Если формально решать методом разделения переменных, то получится ряд\sum\limits_{k=1}^{\infty} \left(\frac{2}{a}\int\limits_{0}^{a} f(x) Sin(\frac{\pi k x}{a}) dx \right) Sin(\frac{\pi k x}{a}) \frac{Sh(\frac{\pi k y}{a})}{Sh(\frac{\pi k b}{a})}

Этот ряд сходится во всякой внутренней точке прямоугольника. Будет ли он представлять решение искомой задачи внутри прямоугольника?

[Gafield]

Цитата:

а на четвертой--неразлагающейся в ряд Фурье непрерыной функции f(x),f(0)=f(a)=0.

Что это значит? Непрерывная функция разлагется в ряд Фурье, который сходится к ней почти всюду.

[Asalex]

Gafield писал(а):

Цитата:

а на четвертой--неразлагающейся в ряд Фурье непрерыной функции f(x),f(0)=f(a)=0.

Что это значит? Непрерывная функция разлагется в ряд Фурье, который сходится к ней почти всюду.

Не всюду же. (А где доказывается, что сходится почти всюду?)

Решение должно получиться непрерывным вплоть до границы.

Ряд расходится в отдельных точках границы.
Нужно продолжить его по непрерывности и на эти точки.
Но это врядли можно сделать, так как ряд в этих точках расходящийся.


Но во внутренних точках ряд сходится. Так как он не удовлетворяет граничным условиям, то сразу ни откуда не следует, что он представляет собой решение внутри области.



Но это было бы желательно.


Это можно доказать?

[ewert]

Asalex писал(а):

Не всюду же. (А где доказывается, что сходится почти всюду?)

Решение должно получиться непрерывным вплоть до границы.

Ряд расходится в отдельных точках границы.
Нужно продолжить его по непрерывности и на эти точки.
Но это врядли можно сделать, так как ряд в этих точках расходящийся.

Но во внутренних точках ряд сходится. Так как он не удовлетворяет граничным условиям, то сразу ни откуда не следует, что он представляет собой решение внутри области.

ну если сходится почти всюду, то можно по непрерывности продолжить во все точки, результат и будет непрерывным.

А если не устраивает корявое поведение в отдельных точках, то можно улучшить сходимость, перейдя, например, к пределу усреднённых частичных сумм. Тогда сходимость будет вообще равномерной.

[AD]

Asalex писал(а):

А где доказывается, что сходится почти всюду?

Теорема Карлесона. Ряд Фурье функции из $L_2$ сходится к ней почти всюду. Доказательство - *длинное*, на годовой спецкурс тянет.

[Gafield]

Сходимость ряда Фурье и свойства функции - не одно и то же.

Есть некая функция, гладкая внутри прямоугольника. Достаточно доказать, что при $y\to b-0$ она стремится к $f(x)$. Я думаю, для непрерывных $f$ это верно. Для круга такое утверждение справедливо, а способ суммирования рядов Фурье называется методом суммирования Пуассона. Для непрерывных функций он дает сходимость всюду так же, как метод средних арифметических.