Положительная определённость квадратичной формы

[AVV]

Доказать, что квадратичная форма, матрица которой в некотором базисе

$$ \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \dots & \frac{1}{n} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \dots & \frac{1}{n} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \dots & \frac{1}{n+1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{1}{n} & \frac{1}{n+1} & \frac{1}{n+2} & \dots & \frac{1}{2n-1} \end{pmatrix} $$

положительно определена.

Так как матрица весьма специального вида, можно попытаться искать собственные векторы и убедиться, что их собственные значения положительны. Но уже случай $n=2$ намекает, что это плохая идея. Напрашивается индукция, но что-то не видно как сделать индуктивный переход.

[AlexValk]

Если считать, что последние элементы во 2-й и третий строках матрицы даны опечатками (там должны быть, соответственно, $\frac{1}{n+1}$ и $\frac{1}{n+2}$), то ваша квадратичная форма имеет вид

$$\sum_{i,j=1}^n \frac{x_i x_j}{i+j-1}.$$

Используете формулу $\frac{1}{i+j-1}=\int_0^1 z^{i+j-2}dz$ и перепишите квадратичную форму как интеграл от некоторого квадрата.

[AVV]

Ловко. Спасибо!