Замена переменной в неопределенном интеграле

[Homa]

При замене переменной в неопределенном интеграле нельзя ставить знак равенства между получившейся первообразной и исходным интегралом (только знак включения). Почему?

[Toucan]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»

[Munin]

Homa в сообщении #1205119 писал(а):

При замене переменной в неопределенном интеграле нельзя ставить знак равенства между получившейся первообразной и исходным интегралом (только знак включения).

А где такое написано? Дайте точную ссылку (библиографическую).

[Brukvalub]

Homa в сообщении #1205119 писал(а):

При замене переменной в неопределенном интеграле нельзя ставить знак равенства между получившейся первообразной и исходным интегралом (только знак включения). Почему?

Потому, что первообразная и неопределенный интеграл - разные понятия. Стандартно: первообразная - это элемент множества всех первообразных исходной функции на заданном промежутке, а само такое множество всех первообразных и называется неопределенным интегралом.

[Munin]

Я вот жду, что мне покажут учебник, в котором выкладки проводятся с использованием знака включения.

[ewert]

Brukvalub в сообщении #1205319 писал(а):

Потому, что первообразная и неопределенный интеграл - разные понятия.

Но записывать это общепринято всё же без значков включения.

Мне другое непонятно: при чём тут замена переменной?

[Brukvalub]

ewert в сообщении #1205336 писал(а):

Но записывать это общепринято всё же без значков включения.

Согласен. Я увидел ситуацию так: придирчивый препод, чтобы студенты усвоили разницу между первообразной и неопределенным интегралом, потребовал на занятиях писАть именно знак включения. Студент удивился и спросил здесь.

[Homa]

Я понимаю, что первообразная и неопределенный интеграл - это разные понятия. Попробую объяснить, что я хочу узнать. Например, есть интеграл $\int\limits_{}^{}\frac{dx}{1+\cos^2x}$. Решаю с помощью замены $\tg x = t$, получаю одну из первообразных $\frac{1}{\sqrt{2}}\arctg \frac{t}{\sqrt{2}}$.
Но я не могу просто сделать обратную замену и сказать, что $\frac{1}{\sqrt{2}}\arctg \frac{\tg x}{\sqrt{2}}$ - это первообразная исходной положительной подынтегральной функции, т.к. эта первообразная не строго возрастающая, а периодическая функция. Т.е. получили неравносильность при замене.
В этом примере неравносильность возникла из-за разных областей определения x и t. А если области определения одинаковы, будет ли замена давать равносильный результат?

[ewert]

Homa в сообщении #1205932 писал(а):

Но я не могу просто сделать обратную замену и сказать, что $\frac{1}{\sqrt{2}}\arctg \frac{\tg x}{\sqrt{2}}$ - это первообразная исходной положительной подынтегральной функции, т.к. эта первообразная не строго возрастающая, а периодическая функция.

Она периодическая только если не добавлять к ней констант. Но в таком случае она разрывна, т.е. это не первообразная. А вот если подобавлять к ней на разных участках разные константы, согласованные друг с дружкой -- так, чтобы добиться непрерывности -- то она окажется вполне себе монотонной.

[Munin]

Так объясните, где ставят знак включения?

[Homa]

ewert в сообщении #1205933 писал(а):

Она периодическая только если не добавлять к ней констант. Но в таком случае она разрывна, т.е. это не первообразная. А вот если подобавлять к ней на разных участках разные константы, согласованные друг с дружкой -- так, чтобы добиться непрерывности -- то она окажется вполне себе монотонной.

Да, и помимо добавления согласованных констант в точках разрыва нужно доопределять новую функцию по непрерывности. Значит, что с полученной первообразной для интеграла $\int\limits_{}^{}\frac{dt}{t^2+2}$ нужно ещё поработать, чтобы получить первообразную для начальной функции.

-- 02.04.2017, 17:04 --

Munin в сообщении #1205944 писал(а):

Так объясните, где ставят знак включения?

Знак включения мы ставим после замены переменной, вот так:
$\int\limits_{}^{}\frac{dt}{t^2+2}\in\int\limits_{}^{}\frac{dx}{1+\cos^2 x} $
Если области определения x и t разные, то понятно, что может возникнуть ситуация как в примере и знак равенства ставить нельзя. А если области определения совпадают?

[Munin]

Homa в сообщении #1205965 писал(а):

Знак включения мы ставим после замены переменной

"Мы" - это кто? В каком вузе? Кто преподаватель?

Потому что на самом деле, так никто не делает. Вас кто-то обманул.

[ewert]

Homa в сообщении #1205965 писал(а):

Знак включения мы ставим после замены переменной, вот так:
$\int\limits_{}^{}\frac{dt}{t^2+2}\in\int\limits_{}^{}\frac{dx}{1+\cos^2 x} $

Тогда это неверно как минимум по двум причинам. Во-первых, не "$\in$", а "$\subset$". Во-вторых, неверно даже и последнее: именно потому, что области определения различны -- множества соответствующих функций попросту не сравнимы.

[Human]

Homa в сообщении #1205932 писал(а):

В этом примере неравносильность возникла из-за разных областей определения x и t.

А мне кажется, что просто из-за того, что сама замена "плохая": $\tg x$ разрывна в некоторых точках оси, поэтому на всей оси сразу первообразную получить с ее помощью нельзя, только на каждом отдельном промежутке между соседними точками разрыва тангенса (а там уже корректировать так, как сказал ewert).

Если Вам нужно найти первообразную функции на некотором промежутке и Вы делаете замену, которая определена и дифференцируема везде на этом промежутке, то, вроде, все должно быть хорошо.

[Homa]

Munin в сообщении #1205968 писал(а):

"Мы" - это кто? В каком вузе? Кто преподаватель?

СПбГУ, фамилию преподавателя называть не буду, преподаватель авторитетный.