Здравствуйте!
Решаю задачку:
Доказать, что мощность множества всех измеримых по Лебегу подмножеств отрезка
![$[0,1]$ $[0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/f/acf5ce819219b95070be2dbeb8a671e982.png)
больше континуума.
Пытаюсь адаптировать для этого Теорему Кантора:
Обозначим множество всех измеримых по Лебегу подмножеств отрезка
![$[0,1]$ $[0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/f/acf5ce819219b95070be2dbeb8a671e982.png)
-

.
Предположим, что это множество имеет мощность континнума, то есть, что существует такая биекция

, ставящая в соответствие каждому элементу множества
![$[0,1]$ $[0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/f/acf5ce819219b95070be2dbeb8a671e982.png)
некоторое подмножество множества

.
Тогда Рассмотрим множество

, состоящее из всех элементов
![$x \in [0,1]$ $x \in [0,1]$](https://dxdy-01.korotkov.co.uk/f/c/9/f/c9f19ec3d2ee03aadf08a8f8bd185c8382.png)
, не принадлежащих своим образам при отображении

.

биективно, а
![$B \subset [0,1]$ $B \subset [0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/4/1/e41f8c81f75828f2edc5b3d9b9177df182.png)
, поэтому существует
![$y\in [0,1]$ $y\in [0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/e/d/1/ed17459f66593a9765a8385920055e0c82.png)
такой, что

.
Теперь посмотрим, может ли

принадлежать

.
Если

, то

, а тогда, по определению

,

.
И наоборот, если

, то

, а следовательно,

. В любом случае, получаем противоречие.
Следовательно, исходное предположение ложно и
![$[0,1]$ $[0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/f/acf5ce819219b95070be2dbeb8a671e982.png)
не равномощно

.
Но есть одна загвоздка - надо показать, что

- существует и измеримо. Не могли бы подсказать как это сделать?