Предел

[bayah]

Найти такой предел:
$\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{(\ln x)^{\ln x}}{e^x}$

Сделаем замену $\ln x = t$, тогда $e^t = x$ или $e^{e^t} = e^x$
$t \to +\infty$ при $x \to +\infty$
$\lim\limits_{t \to +\infty}\dfrac{t^t}{e^{e^t}}$ дальше какая-то мура выходит...

Можно по Лопиталю:
$\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{(\ln x)^{\ln x}}{e^x} = \Big(\dfrac{\infty}{\infty}\Big)$
но тоже не получается.. везде производная экспоненты от которой не избавиться.

Подскажите?

[gris]

Я бы попробовал логарифм от выражения. Там будет разность. Логарифм можно оценить корнем четвёртой степени. Правда, расписывать это нудно, но более отчётливо видно значение предела.

[GAA]

bayah в сообщении #1204701 писал(а):

$\lim\limits_{t \to +\infty}\dfrac{t^t}{e^{e^t}}$ дальше какая-то мура выходит...

$\lim\limits_{t \to +\infty}\dfrac{t^t}{e^{e^t}} = \lim\limits_{t \to +\infty} e^{t \ln t - e^t}$

$t \ln t $ возрастает медленнее $t^2$, а экспонента растёт быстрее любой фиксированной степени $t$. Следовательно, $ t \ln t - e^t \to -\infty$, а исходный предел равен 0.

bayah, я что-то не вижу или это совсем простой пример?

-- Ср 29.03.2017 23:24:24 --

Да и замену $t = \ln x$ делать нет особой нужды. Сразу ответ виден.

[bayah]

GAA в сообщении #1204764 писал(а):

$t \ln t $ возрастает медленнее $t^2$, а экспонента растёт быстрее любой фиксированной степени $t$. Следовательно, $ t \ln t - e^t \to -\infty$, а исходный предел равен 0.

Ну да, похоже все так)

GAA в сообщении #1204764 писал(а):

Да и замену $t = \ln x$ делать нет особой нужды. Сразу ответ виден.

А мне что-то не очень. Как это вы понимаете?

[ewert]

bayah в сообщении #1204807 писал(а):

А мне что-то не очень.

Проще всего:

gris в сообщении #1204725 писал(а):

Я бы попробовал логарифм от выражения. Там будет разность.

Логарифм много меньше любой степени икса, в т.ч. и корня от икса, а уж логарифм от логарифма -- и тем более.

[GAA]

$\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{(\ln x)^{\ln x}}{e^x} = \lim\limits_{x \to +\infty}\exp\left(\ln x\ln \ln x -x\right) $

... очевидные слова (часть из них написал ewert)... $\ln x\ln \ln x -x \to -\infty$, при $x \to +\infty$. Следовательно, исходный предел стремится к 0. Т.е. то, что gris и написал сразу.