Вычисление Гаусс-подобной функции

[Osmiy]

Ищу способ быстрого и точного численного вычисления значения функции
$F_m(t)=\int\limits_{0}^{1}u^{2m}e^{-tu^2}du$,
$m$- целое число (вроде даже положительное),
$t$- положительное вещественное число.
У меня ссылка есть: I. Shavitt: Methods in Computational Physics, 1963, vol. 2, p.1. Но нашел только с платным доступом.
Может кому знакомо и есть материал на эту тему.

[Ms-dos4]

Osmiy
Очевидно, что заменой $\[{x^2} = {t^{ - 1}}\xi \]$ интеграл приводится к разности полной и неполной гамма-функций (при $\[m > - \frac{1}{2}\]$)

$$\[\int\limits_0^1 {{x^{2m}}{e^{ - t{x^2}}}dx} = \frac{{\Gamma (m + \frac{1}{2}) - \Gamma (m + \frac{1}{2},t)}}{{2{t^{m + \frac{1}{2}}}}}\]$$

В элементарных функциях даже для целых $\[m\]$ не выразится - его можно свести к разности полинома на экспоненту и функции ошибок. Но в любом случае, в чём проблема посчитать такое в любом матпакете (собственно, можно даже тупо численно интеграл брать, для него не будет никаких проблем).

[Osmiy]

Ms-dos4, спасибо!
Только немного изменил формулу

$$ \frac{ \Gamma (m + \frac{1}{2}) I(m+\frac{1}{2},t)} {2t^{m + \frac{1}{2}}} $$

$I(m+\frac{1}{2},t)$ - регуляризированная гамма-функция

[GAA]

Регуляризированная — не часто встречающееся название. По тексту сообщения понятно, но на всякий случай приведу ссылку

ALGLIB User Guide - Специальные функции - Неполная гамма-функция писал(а):

...
Эти формулы задают нижнюю неполную гамма-функцию и верхнюю неполную гамма-функцию (в зависимости от того, какой из пределов интегрирования зафиксирован - нижний или верхний). С ними тесно связана т.н. регуляризированная гамма-функция: $P(x)= \frac {1}{\Gamma (\alpha)}\int\limits_0^x t^{\alpha-1}e^{-t}dt$...

[При переходе по ссылке мне пришлось выставлять в браузере кодировку вручную: Кириллица (Windows 1251)]

[sergei1961]

Если нужно численно и желательно по своему, без стандартных пакетов-то я бы разложил в ряд экспоненту и считал. На указанном промежутке всё будет хорошо и быстро.

[ewert]

sergei1961 в сообщении #1204387 писал(а):

я бы разложил в ряд экспоненту и считал. На указанном промежутке всё будет хорошо и быстро.

Ага. Особенно при $t=100$, скажем.

[Osmiy]

А в какой ряд надо экспоненту раскладывать? Я в ряд Тейлора разложил, у меня вот что получилось
$F_m(t)=\frac{1}{1+2m}+ \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-t)^n}{(1+2m+2n)n!}$
Брал 12 членов и получал левые космические числа.

[Osmiy]

Методом тыка установил, что расхождение происходит при больших $t$. При значениях 3-4 начинает постепенно расходиться, а при больших в рандом превращается.

-- 29.03.2017, 17:19 --

sergei1961, ewert, лучше вы б не писали своих сообщений

[dsge]

Osmiy в сообщении #1204641 писал(а):

Методом тыка установил, что расхождение происходит при больших $t$. При значениях 3-4 начинает постепенно расходиться, а при больших в рандом превращается.

Это вы просто недостаточное число членов ряда взяли.

[Osmiy]

А сколько надо взять, если $t$ может быть over 1000?
Я использую числа с двойной точностью. Это позволяет задавать десятичную степень примерно до 300. При $t=1000$ этого хватает на 100 членов. Но мне же обещали что будет быстро

-- 29.03.2017, 17:38 --

Я в этом не разбираюсь. Но мне кажется что проблема в чередовании знака слагаемых, и в том, что при больших $t$ рост $t^n$ происходит быстрее $n!$.

[dsge]

Osmiy в сообщении #1204649 писал(а):

что при больших $t$ рост $t^n$ происходит быстрее $n!$.

$t=1000$. Что больше $1000^{1000}$ или $1000!$?

[Osmiy]

Не знаю, но раз спрашиваете, то факториал. Видимо ошибка получается когда $t$ большое, а $n$ маленькое.
Например, $1000^2$ и $2!$.

-- 29.03.2017, 18:04 --

Тогда получается надо увеличивать $n$, т.е. кол-во членов.

-- 29.03.2017, 18:12 --

Сделал 20 членов. Диапазон для $t$ сместился примерно на единичку

-- 29.03.2017, 18:24 --

Со 100 членами примерно до $t=10$ получается считать. Дальше уже разрядность чисел не тянет.

[dsge]

Раскладывать экспоненту в ряд - это была шутка. Но ряд все же сходится.

[ewert]

(Оффтоп)

dsge в сообщении #1204690 писал(а):

Раскладывать экспоненту в ряд - это была шутка.

"ну и шуточки же у тебя, боцман!"

("тебя" -- лишь ради стилистической выверенности, соррьте)

-- Ср мар 29, 2017 23:23:56 --

Osmiy в сообщении #1204641 писал(а):

sergei1961, ewert, лучше вы б не писали своих сообщений

А напрасно Вы так считаете. Все эти сообщения -- осознаны. Кто больше, кто меньше; но, во всяком случае, все имеют отношение к делу.

[Osmiy]

Изменил немного уравнения:

$$F_m(t)=\frac{1}{2m+1}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}X_n$$

$$X_1=\frac{-t}{2m+3}$$

$$X_n=X_{n-1}* \frac{2m+2n-1}{2m+2n+1}* \frac{-t}{n}$$

При 20 000 000 членов/членах удалось поднять аргумент до 20.
Мне аж интересно стало, что там такое в статье написано